Тапсырма № 22 · ОГЭ

Область допустимых значений логарифмического выражения

Условия существования логарифма и область допустимых значений выражения

3 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического выражения — это все значения переменных, при которых каждый входящий в выражение логарифм существует. Чтобы найти ОДЗ, проверяют положительность основания и аргумента каждого логарифма.

Множество значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Для каждого логарифма \(\log_a b\) должны одновременно выполняться условия: \(a>0\), \(a\ne1\) и \(b>0\). Эти условия следуют из определения логарифма числа.

\[\log_a b\text{ существует тогда и только тогда, когда }a>0,\quad a\ne1,\quad b>0.\]

Если основание логарифма — постоянное число, достаточно проверить его допустимость один раз. Если основание или аргумент содержат переменную, условия записывают как неравенства и решают их совместно. Пересечение всех полученных решений и есть ОДЗ.

№

Пример

Найдём ОДЗ выражения \(\log_{x-2}(x+1)\). Основание должно быть положительным и не равняться единице: \(x-2>0\), \(x-2\ne1\). Аргумент должен быть положительным: \(x+1>0\). Получаем \(x>2\), \(x\ne3\). Поэтому ОДЗ: \((2;3)\cup(3;+\infty)\).

Не путайте

Условие \(a\ne1\) относится именно к основанию, а условие \(b>0\) — к аргументу. Нельзя заменить их одним требованием \(a>0\) или проверять только аргумент. Также ОДЗ находят до преобразований: при возведении, сокращении или применении свойств выражения могут появиться посторонние значения.

Проверьте себя

Какова ОДЗ выражения \(\log_{2x-1}(x+3)\)?

Для суммы или разности логарифмов условия составляют для каждого логарифма отдельно. Например, в \(\log_3(x-1)+\log_{x}(5-x)\) нужно потребовать \(x-1>0\), \(x>0\), \(x\ne1\) и \(5-x>0\), а затем объединить ограничения пересечением. Подробнее логарифмические выражения рассматриваются на странице логарифмических выражений.

Главное за минуту

Главное

Для каждого логарифма: основание \(>0\), основание \(\ne1\), аргумент \(>0\).
ОДЗ — пересечение шешімдер всех ограничений.
ОДЗ находят до преобразований выражения.