Показательная модель
Показательная модель описывает величину, которая изменяется в одинаковое число раз за одинаковые промежутки времени. Такой моделью задают быстрый рост, постепенное уменьшение, начисление процентов, распад вещества и другие процессы.
Формула модели
Основная формула показательной модели: начальное значение \(A\) умножается на один и тот же коэффициент \(q\) столько раз, сколько единиц времени прошло. В отличие от линейной модели, здесь прибавляется не одно и то же число, а изменяется одно и то же отношение соседних значений.
Если величина увеличивается на \(p\%\) за единицу времени, то \(q=1+\frac{p}{100}\). Если она уменьшается на \(p\%\), то \(q=1-\frac{p}{100}\). Например, рост на \(5\%\) означает умножение на \(1{,}05\), а уменьшение на \(5\%\) — на \(0{,}95\).
На счёте было 20 000 рублей, ежегодное увеличение составляет \(3\%\). Через 2 года сумма будет \(S=20000\cdot1{,}03^2=21218\) рублей. Здесь \(A=20000\), \(q=1{,}03\), \(t=2\). Это применение показательной функции к реальной ситуации.
В линейной модели \(y=A+kt\) величина за каждый шаг изменяется на одну и ту же величину. В показательной модели \(y=A\cdot q^t\) она изменяется в одно и то же число раз. Поэтому рост на \(10\%\) каждый год не равен прибавлению одной и той же суммы: следующие 10% начисляются уже на новое значение.
Какой коэффициент \(q\) соответствует уменьшению величины на \(8\%\) за каждый шаг?
Показательную модель можно рассматривать и для целых значений \(t\), и для дробных: например, для месяцев, лет или часов. При анализе модели полезно определить начальное значение, процент изменения и единицу времени. Для последовательности значений при целых \(t\) модель связана с геометрической прогрессией; её свойства помогают изучать рост и убывание.
Главное
- Показательная модель имеет вид \(y=A\cdot q^t\).
- При \(q>1\) происходит рост, при \(0<q<1\) — убывание.
- Процентное изменение переводят в коэффициент: рост на \(p\%\) даёт \(q=1+\frac{p}{100}\), уменьшение — \(q=1-\frac{p}{100}\).