Свойства показательной функции
Показательная функция — это функция вида \(y=a^x\), где основание \(a\) — положительное число, не равное \(1\). Её основные свойства определяются тем, больше или меньше \(a\) единицы.
Основные свойства
График показательной функции проходит через точку \((0;1)\), потому что \(a^0=1\). Значения функции всегда положительны: \(a^x>0\). Поэтому её график не пересекает ось \(x\).
Поведение функции зависит от основания. Если \(a>1\), функция возрастает: большему значению \(x\) соответствует большее значение \(a^x\). Если \(0<a<1\), функция убывает: при увеличении \(x\) значение \(a^x\) уменьшается.
| Условие для основания | Монотонность | Пределы |
|---|---|---|
| \(a>1\) | Возрастает | \(a^x\to 0\) при \(x\to-\infty\); \(a^x\to+\infty\) при \(x\to+\infty\) |
| \(0<a<1\) | Убывает | \(a^x\to+\infty\) при \(x\to-\infty\); \(a^x\to 0\) при \(x\to+\infty\) |
Функция \(y=3^x\) возрастает, так как \(3>1\). Например, \(3^2=9>3^1=3\). Функция \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как \(0<\frac{1}{3}<1\).
Показательная функция имеет вид \(y=a^x\): переменная находится в показателе. В функции \(y=x^a\) переменная является основанием; это уже другая зависимость. У показательной функции основание обязательно удовлетворяет условиям \(a>0\) и \(a\ne1\).
Какой является функция \(y=\left(\frac{2}{5}\right)^x\)?
Свойства показательной функции используют при построении показательной функции, сравнении степеней и решении показательных уравнений.
Главное
- Область определения: все действительные числа; множество значений: только положительные числа.
- При \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.
- График проходит через \((0;1)\) и не пересекает ось \(x\).