График показательной функции
График показательной функции \(y=a^x\) помогает быстро определить область определения и значения, направление возрастания или убывания, точки пересечения с осями и поведение функции на бесконечности. Эти свойства лежат в основе решения заданий, где нужно сравнить значения, найти параметр или выбрать подходящий график.
Определение и общий вид графика
Показательная функция имеет вид \(y=a^x\), где \(a>0\) и \(a\ne1\). Число \(a\) называют основанием, а \(x\) — показателем степени. Переменная \(x\) может принимать любые действительные значения, поэтому график непрерывен на всей числовой прямой.
Графиком показательной функции \(y=a^x\) является множество точек \((x; a^x)\), где \(a>0\), \(a\ne1\), а \(x\in\mathbb{R}\).
Для построения достаточно составить таблицу нескольких значений. При любом основании верны равенства \(a^0=1\) и \(a^1=a\), поэтому график всегда проходит через точки \((0;1)\) и \((1;a)\). Кроме того, \(a^x>0\) при любом \(x\), значит, график расположен выше оси \(Ox\) и не пересекает её.
Свойства при разных основаниях
Поведение графика зависит от того, больше основание единицы или меньше. Если \(a>1\), при увеличении \(x\) значение \(a^x\) увеличивается: функция возрастает. Если \(0<a<1\), функция убывает. Это связано с представлением \(a^x=\left(\frac1a\right)^{-x}\) и с тем, что основание, обратное числу меньше единицы, больше единицы.
Для \(y=a^x\): область определения — \(\mathbb{R}\); множество значений — \((0;+\infty)\); график проходит через \((0;1)\); нулей нет; горизонтальная асимптота — ось \(Ox\), то есть \(y=0\). При \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.
| Условие | Изменение функции | Поведение на концах |
|---|---|---|
| \(a>1\) | Возрастает | \(x\to+\infty\Rightarrow a^x\to+\infty\); \(x\to-\infty\Rightarrow a^x\to0\) |
| \(0<a<1\) | Убывает | \(x\to+\infty\Rightarrow a^x\to0\); \(x\to-\infty\Rightarrow a^x\to+\infty\) |
Для основания \(a=\frac12\) удобно использовать точки \((0;1)\), \((1;\frac12)\) и \((-1;2)\). Чем правее точка на графике, тем меньше значение функции. Именно изменение направления монотонности позволяет сравнивать степени без вычисления их десятичных приближений.
Какой график соответствует функции \(y=\left(\frac13\right)^x\)?
Алгоритм построения графика
Чтобы построить график \(y=a^x\), действуйте последовательно. Сначала проверьте допустимое основание: оно должно быть положительным и не равняться единице. Затем определите направление изменения функции, отметьте обязательную точку \((0;1)\) и ещё две-три точки. После этого соедините точки плавной кривой, не пересекающей ось \(Ox\).
- Определите, выполнено ли \(a>1\) или \(0<a<1\).
- Составьте таблицу для \(x=-1,0,1\) и, если нужно, для \(x=2\).
- Отметьте точки \((0;1)\) и \((1;a)\).
- Проведите плавную кривую с учётом монотонности и приближения к оси \(Ox\).
- Проверьте, что все значения \(y\) положительны и график не пересекает ось \(Ox\).
Если в условии дан рисунок, сначала найдите точку пересечения с осью \(Oy\). Для графика \(y=a^x\) это всегда \((0;1)\). Затем посмотрите, возрастает или убывает кривая: так можно определить, больше основание единицы или меньше.
Преобразования графика
Свойства базового графика помогают исследовать более сложные функции. В выражении \(y=a^{x-h}+k\) число \(h\) сдвигает график вправо на \(h\), а \(k\) — вверх на \(k\). Горизонтальная асимптота перемещается с \(y=0\) на \(y=k\). Если перед всей функцией стоит минус, график отражается относительно оси \(Ox\).
Например, для \(y=2^{x-3}+1\) график \(y=2^x\) сдвинут на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Его асимптота — \(y=1\), а точка \((0;1)\) базовой функции переходит в точку \((3;2)\). При анализе преобразованного графика важно не переносить свойства исходной функции без учёта сдвига.
Разобранный пример
Определите все целые \(x\), при которых \(2^{x+1}\le8\).
Если бы основание было между 0 и 1, знак при сравнении показателей изменился бы. Например, из \(\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3\) следовало бы \(x<3\), потому что функция убывает.
Не путайте условия монотонности: при \(a>1\) знак сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется. Нельзя считать, что график пересекает ось \(Ox\): значение \(a^x\) никогда не равно нулю. Также не следует считать точку \((1;a)\) точкой пересечения с осью: пересечение с осью \(Oy\) происходит при \(x=0\) и имеет координаты \((0;1)\).
Связь с другими темами
График показательной функции нужен для изучения свойств показательной функции и решения показательных неравенств. Обратная к показательной функции — логарифмическая, поэтому при дальнейшем изучении темы понадобятся логарифмы и свойства логарифмов. Последовательности вида \(b_n=b_1q^{n-1}\) связаны с формулой $n$-го члена геометрической прогрессии, а практические задачи на рост и уменьшение разбираются в задачах на геометрическую прогрессию.
Быстрая проверка
Главное
- Показательная функция имеет вид \(y=a^x\), где \(a>0\) и \(a\ne1\).
- График всегда проходит через \((0;1)\), расположен выше оси \(Ox\) и имеет асимптоту \(y=0\).
- При \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.
- Для сравнения показательных выражений сначала приводите их к одному основанию и учитывайте монотонность.
- В функции \(y=a^{x-h}+k\) график сдвигается на \(h\) вправо и на \(k\) вверх.