Задание № 14 · ОГЭ

Свойства логарифмов

Формулы произведения, частного и степени

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Свойства логарифмов — это правила, которые позволяют заменять логарифм произведения, частного или степени более простыми выражениями. Они нужны для преобразования логарифмических выражений и решения уравнений и неравенств.

Свойства логарифмовНазвание связано с греческими словами, означающими «число» и «отношение».

При основании \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных числах \(x\) и \(y\) логарифмы произведения, частного и степени преобразуются по специальным формулам. Логарифм степени можно вынести множителем перед логарифмом основания числа.

Основные формулы

\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\]1

\[\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\]2

\[\log_a(x^r)=r\log_a x\]3

В первой формуле логарифм произведения превращается в сумму логарифмов множителей. Во второй логарифм частного превращается в разность. В третьей показатель степени становится множителем. Эти правила следуют из определения логарифма и применяются только при выполнении условий существования логарифмов: \(x>0\), \(y>0\).

№

Пример преобразования

Упростим выражение \(\log_2(8x^2)\) при \(x>0\). По формулам произведения и степени: \(\log_2(8x^2)=\log_2 8+\log_2(x^2)=3+2\log_2 x\). Если требуется изменить основание, используют формулу перехода к другому основанию.

Не путайте со степенью

Нельзя раскрывать сумму внутри аргумента: \(\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y\). Свойство суммы относится только к произведению: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\). Также неверно считать, что \(\log_a(x-y)=\log_a x-\log_a y\).

Проверьте себя

Как преобразуется выражение \(\log_3\left(\frac{x^2}{y}\right)\) при \(x>0\), \(y>0\)?

Главное за минуту

Главное

Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм частного — их разности.
Показатель степени можно вынести множителем перед логарифмом.
Формулы применяют при положительных аргументах и допустимом основании: \(a>0\), \(a\ne1\).