Тапсырма № 14 · ОГЭ

Формула перехода к другому основанию

Как выразить логарифм через логарифм с другим основанием

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Формула перехода к другому основанию позволяет заменить логарифм с неудобным основанием на отношение двух логарифмов с удобным основанием. Она особенно полезна при вычислениях и преобразовании логарифмических выражений.

Для положительного числа \(b\), отличного от \(1\), и положительных чисел \(a\) и \(c\), отличных от \(1\), логарифм \(\log_a b\) можно представить через логарифмы по основанию \(c\): \(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\). Основание \(c\) называют новым основанием перехода.

Формула

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0,\ c>0,\ c\ne1\]

В числителе стоит логарифм аргумента \(b\), а в знаменателе — логарифм исходного основания \(a\). Новое основание \(c\) выбирают так, чтобы логарифмы было легко найти. Например, удобно переходить к основанию \(10\), если используются таблицы десятичных логарифмов, или к основанию \(e\) при работе с натуральным логарифмом. Формула является одним из свойств логарифмов.

№

Пример

Вычислим \(\log_2 8\) через основание \(4\): \(\log_2 8=\frac{\log_4 8}{\log_4 2}=\frac{3}{2}\div\frac{1}{2}=3\). Действительно, \(2^3=8\).

Не перепутайте порядок

Нельзя менять местами числитель и знаменатель: \(\frac{\log_c a}{\log_c b}\) равно \(\log_b a\), а не \(\log_a b\). Также нельзя забывать ограничения: аргумент и основание логарифма должны быть положительными, а основание — не равно \(1\).

Проверьте себя

Как записать \(\log_3 7\) через натуральные логарифмы?

Главное за минуту

Главное

\(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\) — логарифм аргумента делится на логарифм исходного основания.
Новое основание \(c\) выбирают удобным; часто используют \(10\) немесе \(e\).
Следите за порядком числителя и знаменателя и проверяйте допустимые значения оснований и аргумента.