Логарифмическая функция
Логарифмическая функция \(y=\log_a x\) показывает, в какую степень нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(x\). Её график зависит от основания \(a\): при \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.
Формула и основные свойства
- График проходит через точки \((1;0)\) и \((a;1)\).
- Ось \(Oy\) является вертикальной асимптотой: график приближается к ней, но не пересекает её.
- Если \(a>1\), функция возрастает: большему \(x\) соответствует больший \(y\).
- Если \(0<a<1\), функция убывает: большему \(x\) соответствует меньший \(y\).
| Основание | Поведение функции | Значения при \(x>1\) |
|---|---|---|
| \(a>1\) | Возрастает | \(\log_a x>0\) |
| \(0<a<1\) | Убывает | \(\log_a x<0\) |
Рассмотрим \(y=\log_2 x\). График проходит через \((1;0)\), \((2;1)\) и \((4;2)\), потому что \(2^0=1\), \(2^1=2\), \(2^2=4\). Основание \(2>1\), поэтому функция возрастает.
Аргумент логарифма должен быть положительным: выражение \(\log_a x\) определено только при \(x>0\). Основание также не может быть равно \(1\) или неположительным. Поэтому \(\log_2(-3)\) и \(\log_1 5\) не имеют смысла.
При построении графика полезно сначала отметить точки \((1;0)\) и \((a;1)\), затем учесть направление ветви и асимптоту \(x=0\). Связь логарифмической функции с определением логарифма разобрана на странице логарифма числа, а преобразования выражений — в статье свойства логарифмов.
Как ведёт себя функция \(y=\log_{0,5}x\)?
Графические свойства помогают при решении логарифмических неравенств: при убывании функции знак неравенства меняется при переходе от логарифмов к аргументам.
Главное
- \(y=\log_a x\) определена при \(a>0\), \(a\ne1\) и \(x>0\).
- При \(a>1\) функция возрастает, при \(0<a<1\) — убывает.
- График проходит через \((1;0)\) и имеет асимптоту \(x=0\).