Задание № 12 · ЕГЭ

Логарифмическое неравенство

Определение, ОДЗ и правило выбора знака

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Его решают в два этапа: сначала находят ОДЗ, затем учитывают, возрастает или убывает логарифмическая функция.

Неравенство вида \(\log_a f(x) > \log_a g(x)\), \(\log_a f(x) \le b\) или содержащие логарифмические выражения, при котором переменная входит в аргумент и иногда в основание логарифма. Для существования логарифма необходимы условия \(a>0\), \(a\ne1\), \(f(x)>0\).

Основное правило

После записи ОДЗ сравнивают аргументы. Если \(a>1\), функция \(y=\log_a x\) возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Если \(0<a<1\), функция убывает, поэтому знак меняется на противоположный. Подробнее свойства логарифмов удобно повторить на странице свойства логарифмов.

\[\log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x)>g(x), & a>1,\\ f(x)<g(x), & 0<a<1, \end{cases} \quad f(x)>0,\ g(x)>0.\]

№

Пример

Решим \(\log_{\frac12}(x-1)\ge\log_{\frac12}3\). ОДЗ: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Основание лежит между 0 и 1, поэтому знак меняется: \(x-1\le3\). С учётом ОДЗ получаем \(1<x\le4\), или \(x\in(1;4]\).

Не перепутайте

ОДЗ нельзя заменять условием \(f(x)\ge0\): аргумент логарифма должен быть строго положительным. Кроме того, при основании \(0<a<1\) знак меняется, а при \(a>1\) — сохраняется. Логарифмическая функция помогает понять это по направлению её графика.

Проверьте себя

Какое условие получают из \(\log_3(2x-1)<\log_3 5\)?

Главное за минуту

Главное

Сначала выпишите ОДЗ: основание положительно и не равно 1, каждый аргумент строго положителен.
При \(a>1\) знак сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется.
После решения неравенства пересеките ответ с ОДЗ.