Логарифмические выражения
Логарифмическое выражение нельзя вычислять механически: сначала проверьте ОДЗ, затем упростите его с помощью свойств логарифмов и только после этого подставляйте значения. Такой порядок особенно важен в заданиях oge-14 и ege-12, где ответ часто получается после нескольких коротких преобразований.
Что такое логарифмическое выражение
Логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). Запись \(\log_a b=x\) равносильна равенству \(a^x=b\).
Логарифм \(\log_a b\) существует при условиях \(a>0\), \(a\ne 1\), \(b>0\). Здесь \(a\) — основание логарифма, а \(b\) — его аргумент.
Например, \(\log_2 8=3\), потому что \(2^3=8\). Если основание или аргумент содержит переменную, ограничения нужно выписать отдельно. Подробная проверка условий рассматривается на странице об ОДЗ логарифмического выражения.
При преобразованиях полезно опираться на свойства логарифмов, а если основания различаются — на заранее изученную формулу перехода к другому основанию.
ОДЗ: что проверять до вычислений
Для каждого логарифма выпишите два условия: его основание должно быть положительным и не равняться единице, а аргумент должен быть строго положительным. При наличии дроби знаменатель также не может быть равен нулю, а подкоренное выражение с чётным корнем — неотрицательно.
Если выражение состоит из нескольких логарифмов, условия объединяются системой. Например, для \(\log_{x-1}(x+3)\) получаем \(x-1>0\), \(x-1\ne1\), \(x+3>0\). Значит, \(x>1\), \(x\ne2\).
При сложении или вычитании логарифмов нельзя сначала сокращать аргументы и забывать исходные ограничения. ОДЗ записывают для исходного выражения, а найденные значения проверяют в нём.
- Основание каждого логарифма положительно.
- Ни одно основание не равно \(1\).
- Аргумент каждого логарифма строго положителен.
- Знаменатели и другие части выражения также имеют допустимые значения.
Основные преобразования
Сначала ищите одинаковое основание, одинаковый аргумент, взаимно обратные действия и возможность представить числа как степени одного числа. Часто выражение становится простым после перехода к общему основанию.
Последняя формула позволяет сокращать промежуточное основание: \(\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3\). Однако запись должна быть корректной: все основания и аргументы должны удовлетворять условиям существования.
Представьте числа в виде степеней одного основания: \(8=2^3\), \(25=5^2\), \(\frac1{27}=3^{-3}\). Тогда логарифмы часто вычисляются по определению без перехода к десятичным приближённым значениям.
Чему равно \(\log_2 8+\log_2 4\)?
Разобранный пример
Вычислим выражение \(E=\log_3 27-2\log_3 3+\log_3\frac{1}{9}\). Это пример экзаменационного типа: нужно распознать степени одного основания и отрицательный показатель.
Найдём значение выражения, не используя приближённые вычисления.
Ответ: \(-1\). Здесь важно не потерять знак: число \(\frac{1}{9}=3^{-2}\), поэтому его логарифм отрицателен.
Когда выражение нужно объединить
Если в выражении есть сумма или разность логарифмов с одним основанием, их можно объединить. Например, \(\log_5 12-\log_5 3=\log_5 4\). При этом аргументы должны быть положительными; для чисел \(12\) и \(3\) это очевидно.
Если перед логарифмом стоит коэффициент, его можно занести в показатель аргумента: \(3\log_2 5=\log_2 125\). Иногда удобнее, наоборот, разложить произведение или степень аргумента: \(\log_4(16\cdot 2)=\log_4 16+\log_4 2\).
Для логарифма с основанием \(10\) используют название десятичный логарифм и запись \(\lg x\). Для основания \(e\) применяют натуральный логарифм и запись \(\ln x\). В школьных вычислениях сначала уточняйте, какое основание указано или принято по обозначению.
Нельзя использовать формулы \(\log_a(b+c)=\log_a b+\log_a c\) и \(\log_a(b-c)=\log_a b-\log_a c\): таких свойств нет. Нельзя также считать \(\log_a b=\frac{b}{a}\) и сокращать одинаковые числа внутри логарифма как обычную дробь.
| Неверное действие | Как правильно |
|---|---|
| \(\log_a(b+c)=\log_a b+\log_a c\) | Свойство суммы отсутствует; сначала ищите другой способ. |
| \(\log_a b=\frac{b}{a}\) | Используйте определение: \(a^x=b\). |
| \(\log_a b\cdot\log_a c=\log_a(bc)\) | Произведение логарифмов не объединяется таким образом. |
| Игнорирование ОДЗ после сокращения | Проверяйте значения в исходном выражении. |
1) Выпишите ОДЗ. 2) Приведите основания и числа к удобному виду. 3) Примените только верные свойства. 4) Вычислите. 5) Проверьте, что ответ допустим для исходного выражения.
Мини-тест
Проверьте готовность
Главное
- Логарифм \(\log_a b\) существует при \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\).
- ОДЗ записывают для исходного выражения и проверяют после преобразований.
- Сумму и разность логарифмов с одним основанием объединяют через произведение и частное аргументов.
- Числа удобно представлять как степени основания; дроби вида \(\frac1{a^n}\) дают отрицательный логарифм.
- Формулы для суммы и разности аргументов не существуют: преобразовывать можно только по известным свойствам.