Задание № 12 · ЕГЭ

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию $e$: определение, формула и основные свойства

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$, где $e\approx2{,}718$. Он показывает, в какую степень нужно возвести число $e$, чтобы получить заданное положительное число.

Натуральный логарифмОбозначение $\ln$ происходит от слов «натуральный логарифм».

Натуральным логарифмом положительного числа $x$ называют число, равное логарифму числа $x$ по основанию $e$. Обозначение: $\ln x$. Здесь $x>0$, а $e$ — иррациональное число $e\approx2{,}71828$.

\[\ln x=\log_e x,\qquad e^{\ln x}=x\quad (x>0)\]

Из определения следует равенство $\ln x=y$ тогда и только тогда, когда $e^y=x$. Область допустимых значений натурального логарифма: только $x>0$. Поэтому выражение $\ln(x-3)$ имеет смысл при $x>3$.

Основные свойства

$\ln 1=0$, потому что $e^0=1$.
$\ln e=1$, потому что $e^1=e$.
$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ при $a>0$ и $b>0$.
$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ при $a>0$ и $b>0$.
$\ln(a^r)=r\ln a$ при $a>0$ и действительном $r$.

№

Пример

Вычислим $\ln(e^4)$. По свойству логарифма степени: $\ln(e^4)=4\ln e=4\cdot1=4$. То же следует непосредственно из определения: $e^4$ — результат возведения $e$ в четвёртую степень.

Не путайте

Натуральный логарифм $\ln x$ имеет основание $e$, а десятичный логарифм $\lg x$ — основание $10$. Поэтому обычно $\ln 10\ne1$, тогда как $\lg10=1$. При преобразовании более сложных логарифмических выражений учитывайте основание.

Проверьте себя

Чему равно $\ln\frac{1}{e^2}$?

Главное за минуту

Главное

$\ln x=\log_e x$, где $e\approx2{,}718$, а $x>0$.
Ключевые значения: $\ln1=0$ и $\ln e=1$.
Произведение превращается в сумму логарифмов, частное — в разность, степень — в множитель.

Основные свойства

Чему равно \(\ln\frac{1}{e^2}\)?

Главное