Тапсырма № 22 · ОГЭ

Свойства логарифмической функции

Область определения, значения и монотонность функции \(y=\log_a x\)

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Логарифмическая функция — это функция \(y=\log_a x\), обратная показательной функции \(y=a^x\). Её главные свойства определяются основанием \(a\): область определения состоит из положительных чисел, а направление возрастания зависит от того, больше или меньше \(a\) единицы.

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию \(y=\log_a x\), где \(a>0\) и \(a\ne1\). Здесь \(a\) — основание логарифма, а \(x\) — аргумент. Смысл логарифма раскрывается через определение логарифма: \(\log_a x=b\) тогда и только тогда, когда \(a^b=x\).

Основные свойства

Для функции \(y=\log_a x\) выполняются следующие свойства:

область определения: \(x\in(0;+\infty)\), потому что аргумент логарифма должен быть положительным;
множество значений: \(y\in(-\infty;+\infty)\) — логарифм может принимать любые действительные значения;
график проходит через точку \((1;0)\), так как \(\log_a1=0\);
при \(a>1\) функция возрастает: если \(x_1<x_2\), то \(\log_a x_1<\log_a x_2\);
при \(0<a<1\) функция убывает: если \(x_1<x_2\), то \(\log_a x_1>\log_a x_2\).

\[y=\log_a x,\qquad a>0,\ a\ne1,\qquad x>0\]

№

Пример

Рассмотрим \(y=\log_2 x\). Основание \(2>1\), поэтому функция возрастает. Например, \(\log_2 4=2\) и \(\log_2 8=3\), а \(4<8\) и \(2<3\). Точка \((1;0)\) также принадлежит графику.

Не путайте область определения и значения

У логарифмической функции аргумент \(x\) должен быть только положительным, но результат \(y\) может быть любым действительным числом. Поэтому жазба \(\log_a(-3)\) не имеет смысла в действительных числах, а значение \(\log_a x=-3\) вполне возможно: например, \(\log_2\frac18=-3\).

Проверь себя

Какой является функция \(y=\log_{0,5}x\)?

При работе с логарифмическими выражениями сначала проверяют допустимость аргументов: каждый аргумент логарифма должен быть больше нуля. Подробные ограничения для сложных выражений рассматриваются в области допустимых значений.

Главное за минуту

Главное

\(y=\log_a x\) определена при \(a>0\), \(a\ne1\) и \(x>0\).
Множество значений логарифмической функции — все действительные числа; график проходит через \((1;0)\).
При \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.