Задачи на геометрическую прогрессию
Задачи на геометрическую прогрессию обычно сводятся к трём действиям: определить неизвестный член, найти знаменатель или вычислить сумму первых членов. Сначала вспомните определения и формулы на странице геометрической прогрессии, а затем используйте алгоритмы и разборы ниже.
Основные понятия и формулы
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают \(q\). Первый член обозначают \(b_1\), член с номером \(n\) — \(b_n\).
Последовательность \(b_1,b_2,b_3,\ldots\) является геометрической прогрессией, если для всех допустимых номеров выполняется \(b_{n+1}=b_n\cdot q\), где \(q\) — постоянное число.
Например, \(3,6,12,24,\ldots\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=2\), а \(80,40,20,10,\ldots\) — со знаменателем \(q=\frac12\).
Чтобы подробнее разобрать эту формулу, можно обратиться к странице формулы n-го члена геометрической прогрессии.
Подробное объяснение этой формулы дано на странице суммы геометрической прогрессии. Формула применяется при \(q\ne1\).
Равносильная запись формулы суммы: \(S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\). Выбирайте ту форму, в которой меньше отрицательных знаков. При \(q=1\) все члены равны \(b_1\), поэтому \(S_n=n\cdot b_1\).
Как находить неизвестный член и знаменатель
Если известны два соседних члена, знаменатель находится делением последующего члена на предыдущий: \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}\), если \(b_n\ne0\). После этого можно применять формулу n-го члена.
Если известны первый и несколько последующих членов, сначала проверьте, действительно ли отношения соседних членов одинаковы. Например, в последовательности \(5,15,45,135\) каждое число получается умножением на \(3\), значит \(q=3\).
Иногда в условии даны не соседние члены. Тогда удобно составить уравнение из формулы \(b_n=b_1q^{n-1}\). Например, если известны \(b_2\) и \(b_5\), то \(b_2=b_1q\), а \(b_5=b_1q^4\). Деление второго равенства на первое даёт \(\frac{b_5}{b_2}=q^3\).
При решении задач следите за знаком знаменателя. Если \(q<0\), знаки членов чередуются; если \(0<q<1\), абсолютные значения членов убывают; если \(q>1\), они обычно растут по модулю.
В геометрической прогрессии \(b_1=4\), \(q=-2\). Чему равен \(b_4\)?
Разбор задачи на члены прогрессии
В геометрической прогрессии \(b_2=6\), \(b_5=162\). Найдите \(b_1\) и \(q\), если \(q>0\).
Ответ: \(b_1=2\), \(q=3\). Такой способ особенно удобен, когда в условии даны два члена с разными номерами: деление уничтожает первый член и оставляет степень знаменателя.
Задачи на сумму первых членов
Алгоритм решения задачи на сумму прост: выпишите \(b_1\), \(q\) и \(n\), затем подставьте их в формулу. Если дан не первый член, сначала найдите его через формулу общего члена.
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если \(b_1=3\), \(q=2\).
Проверка без формулы: первые пять членов равны \(3,6,12,24,48\), а \(3+6+12+24+48=93\). В экзаменационной работе такая проверка помогает обнаружить ошибку в степени или знаке.
Если \(|q|<1\) и требуется сумма большого числа членов, формула остаётся той же. Не путайте конечную сумму \(S_n\) с суммой бесконечно убывающей прогрессии: последняя рассматривается отдельно на странице бесконечно убывающей прогрессии.
Текстовые задачи и частые ошибки
В текстовой задаче сначала переведите описание в математическую модель. Если величина каждый раз увеличивается в одно и то же число раз, это геометрическая прогрессия. Например, вклад на каждом шаге удваивается — \(q=2\); цена каждый месяц составляет \(90\%\) от предыдущей — \(q=0{,}9\).
- Определите, что означает первый член и какой шаг имеет номер \(n\).
- Запишите значение \(b_1\) и найдите знаменатель \(q\).
- Выберите формулу: \(b_n\) для одного члена или \(S_n\) для суммы.
- Подставьте числа, вычислите и проверьте смысл ответа.
1. Путают геометрическую прогрессию с арифметической: в геометрической прогрессии постоянна разность, а в геометрической — отношение соседних членов. 2. В формуле \(b_n\) используют степень \(n\), хотя нужна степень \(n-1\). 3. В формуле суммы забывают скобки: \(q^n-1\) — это вся числитель. 4. При делении членов с номерами \(m\) и \(n\) неправильно считают показатель: должно быть \(q^{m-n}\). 5. Не учитывают отрицательный корень при решении уравнения на \(q\), если условие не запрещает \(q<0\).
Запишите несколько первых членов после нахождения \(b_1\) и \(q\). Если соседние члены не умножаются на одно и то же число, ошибка появилась раньше. Для суммы можно проверить результат сложением первых членов, если их немного.
Геометрическая прогрессия связана с показательной функцией: при фиксированном \(b_1\) члены имеют вид \(b_1q^{n-1}\). Однако в экзаменационных задачах последовательность рассматривают только при натуральных номерах.
Итоговая самопроверка
Проверьте, готовы ли вы к заданиям
Главное
- Геометрическая прогрессия задаётся равенством \(b_{n+1}=b_nq\).
- Основная формула члена: \(b_n=b_1q^{n-1}\).
- Сумма при \(q\ne1\): \(S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\).
- Если известны два члена, делите равенства: это позволяет найти степень знаменателя.
- Всегда проверяйте номер члена, знак знаменателя и смысл полученной суммы.