Тапсырма № 22 · ОГЭ

Сумма геометрической прогрессии

Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Сумма первых членов геометрической прогрессии — это результат сложения нескольких её первых членов. Она находится по специальной формуле через первый член, знаменатель и количество слагаемых.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Если \(b_1,b_2,b_3,\ldots\) — геометрическая прогрессия, то сумма её первых \(n\) членов обозначается \(S_n\) и равна \(b_1+b_2+\ldots+b_n\). Здесь \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии, а \(n\) — число складываемых членов.

Формула

Если \(q\ne1\), сумму первых \(n\) членов вычисляют так:

\[S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\]

Эквивалентная жазба этой формулы удобна, когда знаменатель меньше 1:

\[S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\]

Обе формулы дают один и тот же результат. Если \(q=1\), все члены равны \(b_1\), поэтому используется особый случай:

\[S_n=nb_1\]

№

Пример

Найдём сумму первых пяти членов прогрессии \(3,6,12,24,48\). Здесь \(b_1=3\), \(q=2\), \(n=5\). Подставим значения: \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=3\cdot31=93\). Действительно, \(3+6+12+24+48=93\).

Не перепутайте

Формула суммы геометрической прогрессии зависит от степени \(q^n\). Не следует заменять её формулой суммы арифметической прогрессии: в арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же число, а в геометрической — умножаются на один и тот же знаменатель.

Проверьте себя

Чему равна сумма первых төрт членов прогрессии \(2,6,18,54\)?

Главное за минуту

Главное

При \(q\ne1\) используйте формулу \(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\).
При \(q=1\) сумма равна \(S_n=nb_1\).
Перед вычислением определите \(b_1\), \(q\) и количество членов \(n\).