Задание № 22 · ОГЭ

Сумма арифметической прогрессии

Формулы суммы первых членов арифметической прогрессии

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сумма арифметической прогрессии — это сумма нескольких первых членов последовательности, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Сумму удобно находить по специальным формулам, не складывая все слагаемые по очереди.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Суммой первых \(n\) членов арифметической прогрессии называют число \(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\), где \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — \(n\)-й член, а \(n\) — количество складываемых членов. Сама арифметическая прогрессия — последовательность с постоянной разностью соседних членов.

Формулы

Если известны первый и последний складываемые члены, используют формулу:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\]

Она означает: сумма равна произведению среднего арифметического первого и последнего членов на число членов. Если последний член неизвестен, сначала находят его по формуле n-го члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\). Тогда можно применить равносильную формулу:

\[S_n=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}\]

№

Пример

Найдём сумму первых 10 членов прогрессии \(3, 7, 11, \ldots\). Здесь \(a_1=3\), \(d=4\), \(n=10\). Последний член: \(a_{10}=3+9\cdot4=39\). Поэтому \(S_{10}=\frac{(3+39)\cdot10}{2}=210\).

Не перепутайте

Формула суммы относится именно к арифметической прогрессии, где постоянна разность соседних членов. В геометрической прогрессии постоянен другой показатель — знаменатель, поэтому для неё используется иная формула суммы.

Проверьте себя

Чему равна сумма первых 5 членов прогрессии \(2, 5, 8, \ldots\)?

Главное за минуту

Главное

\(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) — сумма первых \(n\) членов через первый и последний члены.
Если \(a_n\) неизвестен, используют \(S_n=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}\).
Перед вычислением проверьте, что последовательность арифметическая и найдено правильное число членов.