ЕГЭОГЭ
Задания № 11, 22 · ОГЭ

Геометрическая прогрессия

Определение, формула и короткий пример
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это постоянное число называют знаменателем прогрессии.

Геометрическая прогрессияНазвание связано с геометрическим средним: соседние члены прогрессии изменяются во столько же раз, во сколько раз изменяется длина или другая величина при умножении.
Геометрической прогрессией называют последовательность \(b_1,b_2,b_3,\ldots\), каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и одного и того же числа \(q\): \(b_{n+1}=b_n\cdot q\). Здесь \(b_1\) — первый член, а \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.

Как распознать прогрессию

Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической, нужно сравнить отношения соседних членов: \(\frac{b_2}{b_1}\), \(\frac{b_3}{b_2}\) и так далее. Если эти отношения одинаковы, последовательность геометрическая, а их общее значение — \(q\). Делить можно только на ненулевые предыдущие члены; при этом прогрессия может содержать нулевые члены, если \(q=0\).

\[b_{n+1}=b_n\cdot q\]

Например, для последовательности \(3,6,12,24,\ldots\) знаменатель равен \(q=2\): каждый член в два раза больше предыдущего. Если \(q>1\) и первый член положительный, члены обычно возрастают; при \(0<q<1\) они уменьшаются по модулю. При отрицательном \(q\) знаки членов чередуются.

№
Пример

Последовательность \(81,27,9,3,\ldots\) является геометрической: \(\frac{27}{81}=\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac13\). Поэтому её знаменатель \(q=\frac13\).

!
Не путайте

В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов, а в геометрической — их отношение. Например, \(2,5,8\) — арифметическая прогрессия, но не геометрическая.

Проверьте себя

Какой знаменатель у прогрессии \(5, -10, 20, -40,\ldots\)?

Формулу конкретного члена можно записать через первый член и знаменатель: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Подробности приведены на странице формула n-го члена геометрической прогрессии. Для суммы нескольких первых членов используется отдельная формула суммы геометрической прогрессии.

Главное за минуту

Главное

  • Геометрическая прогрессия имеет постоянное отношение соседних членов.
  • Основное правило: \(b_{n+1}=b_n\cdot q\).
  • Знаменатель находят как отношение следующего члена к предыдущему.