Тапсырма № 22 · ОГЭ

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Условия существования суммы бесконечной геометрической прогрессии

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы. Только при этом условии сумма её бесконечного числа членов имеет конечное значение.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессияСлово «убывающая» означает, что модули членов прогрессии уменьшаются и стремятся к нулю.

Геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, b_3, \ldots\) называется бесконечно убывающей, если её знаменатель \(q\) удовлетворяет условию \(|q|<1\). В этом случае модули её членов стремятся к нулю: \(b_n\to 0\), а сумма всех членов существует и является конечным числом.

Условие существования суммы

Для прогрессии с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\) бесконечная сумма существует, если \(|q|<1\). При этом она вычисляется по формуле, связанной с суммой геометрической прогрессии.

\[S_{\infty}=\frac{b_1}{1-q},\qquad |q|<1\]

Если \(|q|\ge 1\), члены не стремятся к нулю (кроме отдельного случая нулевой прогрессии), поэтому конечной суммы в обычном смысле нет. При \(q=-1\) члены чередуются, при \(q>1\) их модули растут.

№

Пример

Рассмотрим прогрессию \(6; -3; 1{,}5; -0{,}75; \ldots\). Здесь \(b_1=6\), \(q=-\frac12\), поэтому \(|q|=\frac12<1\). Сумма равна \(S_{\infty}=\frac{6}{1-(-\frac12)}=\frac{6}{\frac32}=4\).

Не путайте

Убывание прогрессии не всегда означает, что каждый следующий член меньше предыдущего: при отрицательном \(q\) знаки чередуются. Важно, чтобы уменьшались модули членов и выполнялось условие \(|q|<1\).

Проверьте себя

Для какой прогрессии существует конечная сумма: \(10; 5; 2{,}5; \ldots\)?

Главное за минуту

Главное

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет \(|q|<1\).
Её сумма существует и равна \(S_{\infty}=\frac{b_1}{1-q}\).
При \(|q|\ge 1\) конечной суммы, как правило, нет.