Свойства геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. В этой статье собраны основные свойства членов прогрессии и приёмы, которые помогают решать задания ОГЭ-14 и ЕГЭ-12.
Определение и основные формулы
Перед изучением свойств полезно повторить тему геометрическая прогрессия и отдельно вспомнить, что такое знаменатель геометрической прогрессии. Обычно геометрическую прогрессию обозначают так: \(b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots\).
Геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, в которой отношение любого члена к предыдущему постоянно. Это постоянное число называют знаменателем прогрессии и обозначают \(q\).
Чтобы найти член с номером \(n\), используют формулу общего члена. Она позволяет перейти от первого члена сразу к нужному, не выписывая все промежуточные числа.
Если известны два члена геометрической прогрессии, стоящие под номерами \(m\) и \(n\), то их можно связать формулой \(b_n=b_m\cdot q^{n-m}\). При \(n>m\) это означает умножение на \(q\) столько раз, сколько шагов между номерами.
Знак и величина знаменателя определяют поведение последовательности. При \(q>1\) и положительном первом члене члены возрастают; при \(0<q<1\) положительные члены убывают. Если \(q<0\), знаки членов чередуются. При \(q=1\) все члены равны, а случай \(q=0\) обычно рассматривают отдельно: после первого члена все члены равны нулю.
Свойства членов прогрессии
Каждый внутренний член геометрической прогрессии по модулю является средним геометрическим соседних членов: квадрат этого члена равен произведению предыдущего и следующего.
Это свойство особенно удобно, когда в условии дана тройка соседних членов. Например, если известны \(b_3\) и \(b_5\), а требуется найти \(b_4\), то \(b_4^2=b_3b_5\). Если произведение положительно, возможны два значения: \(b_4=\pm\sqrt{b_3b_5}\). Знак выбирают по дополнительным условиям или по знаменателю прогрессии.
С этим правилом связано среднее геометрическое членов прогрессии. Важно не путать его со свойством арифметической прогрессии: там средний член равен полусумме соседних, а здесь — корню из их произведения.
Произведение равноудалённых от некоторого члена членов постоянно: для любых подходящих \(k\) и \(r\) выполняется \(b_{k-r}\cdot b_{k+r}=b_k^2\).
В более общем виде произведение членов с номерами, сумма которых одинакова, имеет одинаковую степень первого члена и одинаковую степень знаменателя. Поэтому равенство сумм индексов часто сразу даёт равенство произведений.
Пусть нужно сравнить или найти произведение \(b_4b_9\). Сумма индексов равна \(13\). Поэтому произведение можно заменить на любое произведение членов с суммой индексов \(13\), например \(b_5b_8\) или \(b_6b_7\).
В геометрической прогрессии \(b_4=6\) и \(b_6=24\). Чему может быть равен \(b_5\)?
Формулы для произведений и суммы
Подставляя формулу общего члена, можно получить произведение нескольких членов. Для двух членов особенно полезна запись через средний индекс:
Если номера \(m\) и \(n\) симметричны относительно \(k\), то \(m+n=2k\), и формула превращается в \(b_m b_n=b_k^2\). Это помогает быстро решать задачи без вычисления самого знаменателя.
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии также выражается одной формулой. Она применяется, когда требуется сложить много членов, например в задачах на вклады, повторяющиеся скидки или последовательные изменения величины.
Обе формулы одинаковы. Первую чаще используют при \(q>1\), вторую — при \(0<q<1\). Если \(q=1\), все члены равны \(b_1\), поэтому \(S_n=nb_1\).
Если \(|q|<1\), члены прогрессии стремятся к нулю, а сумма бесконечного ряда существует и равна частному первого члена и разности между единицей и знаменателем.
Эта формула связана с темой сходимости последовательности: условие \(|q|<1\) гарантирует, что бесконечная сумма имеет конечное значение. Для школьных задач важно не забывать это условие.
Разобранный пример
В геометрической прогрессии известно, что \(b_2=6\) и \(b_5=162\). Найдём \(b_3\) и сумму первых пяти членов, если знаменатель положителен.
Сначала найдём знаменатель, затем восстановим нужные члены и применим формулу суммы.
Ответ: \(b_3=18\), \(S_5=242\). Проверка по членам: \(2,6,18,54,162\); их сумма действительно равна \(242\).
1. Путают \(q^{n-1}\) с \(q^n\): в формуле общего члена степень равна числу переходов от первого члена к \(n\)-му. 2. Забывают, что из \(b_k^2=b_{k-1}b_{k+1}\) следует два корня, если знак среднего члена не задан. 3. Используют формулу суммы бесконечной прогрессии при \(|q|\ge1\). 4. При нахождении знаменателя по двум членам неверно считают количество шагов между индексами.
Сначала выпишите индексы и разность между ними. Например, от \(b_3\) до \(b_8\) — пять переходов, поэтому \(b_8=b_3q^5\). Такой короткий подсчёт предотвращает большинство ошибок в степенях.
Алгоритм решения задач
- Запишите известные члены с их индексами: \(b_m\), \(b_n\).
- Свяжите их формулой \(b_n=b_mq^{n-m}\) и найдите \(q\), если это необходимо.
- Для соседних членов используйте \(b_{k+1}=b_kq\); для произвольного номера — формулу \(b_n=b_1q^{n-1}\).
- Если номера равноудалены, проверьте, не проще ли применить \(b_{k-r}b_{k+r}=b_k^2\).
- Для суммы выберите конечную или бесконечную формулу и обязательно проверьте условие на \(q\).
Знак членов и их рост можно дополнительно изучить в статье монотонность последовательности. В задачах с ограниченными значениями полезна тема ограниченность последовательности.
Проверь себя
Главное
- Геометрическая прогрессия задаётся равенством \(b_{n+1}=b_nq\), а её общий член равен \(b_n=b_1q^{n-1}\).
- Для равноудалённых членов выполняется \(b_{k-r}b_{k+r}=b_k^2\); для любых индексов с одинаковой суммой произведения также равны.
- Сумма первых \(n\) членов при \(q\ne1\): \(S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}\). При \(q=1\): \(S_n=nb_1\).
- Сумма бесконечной прогрессии существует только при \(|q|<1\) и равна \(S_\infty=\frac{b_1}{1-q}\).
- В задачах сначала считайте число переходов между индексами, а затем выбирайте свойство или формулу.