Тапсырма № 14 · ОГЭ

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Средний член арифметической прогрессии как среднее арифметическое равноотстоящих членов

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый её член равен полусумме двух равноотстоящих от него членов. Для соседних членов это означает, что средний член равен полусумме предыдущего и следующего.

Если последовательность является арифметической прогрессией, то для любых допустимых нөмір \(n\) и \(k\) выполняется равенство: член \(a_n\) равен полусумме членов \(a_{n-k}\) и \(a_{n+k}\). В частности, каждый член, кроме первого и последнего в рассматриваемом фрагменте, равен полусумме двух соседних членов.

Формула

\[a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2},\quad k\ge 1\]

Для трёх последовательных членов формула записывается проще: \(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\), или \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\). Это свойство следует из определения арифметической прогрессии: соседние члены отличаются на одну и ту же величину \(d\). Действительно, \(a_{n-k}=a_n-kd\), а \(a_{n+k}=a_n+kd\); их отклонения от среднего взаимно уничтожаются.

№

Пример

В прогрессии \(5, 9, 13, 17, 21\) число \(13\) — средний член. Проверим свойство: \(13=\frac{9+17}{2}=13\). Также \(13=\frac{5+21}{2}=13\): члены \(5\) и \(21\) равноотстоящие от него на два шага.

Не путайте

Это свойство относится к свойствам арифметической прогрессии и использует полусумму, то есть среднее арифметическое. Для геометрической прогрессии средний член равен не полусумме, а среднему геометрическому: его квадрат равен произведению равноотстоящих членов.

Проверьте себя

В арифметической прогрессии \(a_4=12\) и \(a_6=20\). Чему равен \(a_5\)?

Главное за минуту

Главное

В арифметической прогрессии средний член равен полусумме равноотстоящих членов.
Основная формула: \(a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\); для соседних членов: \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\).
Свойство помогает находить неизвестный член и проверять, является ли последовательность арифметической прогрессией.