Среднее арифметическое членов прогрессии
В арифметической прогрессии средний из трёх равноотстоящих членов равен их среднему арифметическому: \(a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\). Это свойство помогает быстро находить неизвестный член без вычисления разности прогрессии.
Формула
Для любого допустимого натурального \(k\) выполняется равенство:
Из этой формулы можно получить и другие варианты: \(a_{n-k}=2a_n-a_{n+k}\) или \(a_{n+k}=2a_n-a_{n-k}\). В свойствах арифметической прогрессии это правило является одним из основных. Оно следует из характеристического свойства: разности соседних членов прогрессии одинаковы.
Пусть \(a_4=11\) и \(a_8=23\). Номер \(6\) находится посередине между номерами \(4\) и \(8\), поэтому члены равноотстоящи от \(a_6\). Тогда \(a_6=\frac{a_4+a_8}{2}=\frac{11+23}{2}=17\).
Среднее арифметическое применяют к членам арифметической прогрессии. Для среднего геометрического членов прогрессии используют корень: например, для двух положительных чисел это \(\sqrt{ab}\), а не \(\frac{a+b}{2}\). Кроме того, индексы должны быть равноотстоящими: \(a_5\) находится между \(a_3\) и \(a_7\), но не между \(a_3\) и \(a_6\).
В арифметической прогрессии \(a_2=7\), \(a_6=19\). Чему равен \(a_4\)?
Главное
- В арифметической прогрессии средний из равноотстоящих членов равен полусумме крайних.
- Основная формула: \(a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\).
- Перед применением формулы проверьте, что номера крайних членов находятся от среднего номера на одинаковом расстоянии.