Среднее геометрическое членов прогрессии
Среднее геометрическое двух равноотстоящих членов положительной геометрической прогрессии равно члену, расположенному между ними. Поэтому вместо вычисления большого числа членов часто достаточно использовать одну формулу.
Формула
Пусть \(a_n\) — член положительной геометрической прогрессии. Если индексы \(n-r\), \(n\) и \(n+r\) равноотстоящие, то средний член \(a_n\) является средним геометрическим крайних:
В равносильной форме формула записывается так: \(a_n^2=a_{n-r}\cdot a_{n+r}\). Для трёх соседних членов получаем \(a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}\). Формула следует из общего вида геометрической прогрессии \(a_n=a_1q^{n-1}\): показатели степени у крайних членов симметричны относительно показателя среднего.
В прогрессии \(2, 6, 18, 54, \ldots\) найдём среднее геометрическое чисел \(6\) и \(54\), между которыми расположен член \(18\). Получаем \(\sqrt{6\cdot54}=\sqrt{324}=18\). Значит, \(18\) — среднее геометрическое этих двух членов.
Среднее арифметическое чисел \(x\) и \(y\) равно \(\frac{x+y}{2}\), а среднее геометрическое — \(\sqrt{xy}\). В геометрической прогрессии используется именно произведение: \(a_n^2=a_{n-r}a_{n+r}\). Подробнее см. страницу среднее арифметическое членов прогрессии.
В геометрической прогрессии три последовательных положительных члена равны \(5\), \(x\), \(45\). Чему равен \(x\)?
Главное
- Средний из равноотстоящих членов положительной геометрической прогрессии — их среднее геометрическое.
- Основная формула: \(a_n=\sqrt{a_{n-r}a_{n+r}}\), или \(a_n^2=a_{n-r}a_{n+r}\).
- Среднее геометрическое не следует путать со средним арифметическим.