Задание № 12 · ЕГЭ

Ограниченность последовательности

Как понять, что члены последовательности не выходят за заданные границы

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Ограниченная последовательность — это последовательность, все члены которой не выходят за некоторую фиксированную границу или остаются между двумя такими границами. Границы должны быть одними и теми же для всех номеров членов.

Ограниченная последовательностьТермин связан с существованием числовых границ, между которыми находятся все члены последовательности.

Числовая последовательность \((a_n)\) называется ограниченной сверху, если существует такое число \(M\), что для любого натурального \(n\) выполняется \(a_n\le M\). Она называется ограниченной снизу, если существует такое число \(m\), что для любого \(n\) выполняется \(a_n\ge m\). Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

\[m\le a_n\le M\quad\text{для всех }n\in\mathbb{N}\]1

Иными словами, можно найти два постоянных числа \(m\) и \(M\), такие что ни один член последовательности не меньше \(m\) и не больше \(M\). При этом сами границы не обязаны быть членами последовательности. Для анализа выражения важно помнить, что числовая последовательность задаётся членами с натуральными номерами.

№

Пример

Рассмотрим последовательность \(a_n=\frac{1}{n}\). Для любого \(n\ge1\) выполняется \(0<a_n\le1\), поэтому можно взять \(m=0\) и \(M=1\). Последовательность ограничена и сверху, и снизу.

Не путайте с ограниченностью функции

Ограниченность последовательности проверяют только для её членов \(a_1,a_2,a_3,\ldots\). Ограниченность функции означает наличие границ для значений функции на заданной области определения. Например, функция \(f(x)=x\) не ограничена на всей числовой прямой, но последовательность \(a_n=\frac1n\) ограничена.

Проверьте себя

Какая последовательность ограничена?

Ограниченность сама по себе не означает, что последовательность возрастает или убывает. Например, последовательность \((-1)^n\) ограничена, но её члены чередуются. Также ограниченность не всегда означает сходимость: последовательность \((-1)^n\) не имеет предела, хотя она ограничена. Подробнее это рассматривается на странице о сходимости последовательности.

Главное за минуту

Главное

Ограниченность сверху: \(a_n\le M\) для всех \(n\); ограниченность снизу: \(a_n\ge m\) для всех \(n\).
Ограниченная последовательность целиком помещается между двумя постоянными границами: \(m\le a_n\le M\).
Ограниченность не равна монотонности и не гарантирует сходимость.