Задание № 8 · ЕГЭ

Периодическая последовательность

Что такое периодическая последовательность и как найти её период

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Периодическая последовательность — это последовательность, в которой один и тот же набор членов повторяется через одинаковое число шагов. Число шагов до повторения называют периодом.

Периодическая последовательностьСлово «период» происходит от греческого слова, означающего «круговорот», «повторение».

Последовательность \((a_n)\) называется периодической, если существует натуральное число \(T\), такое что для любого номера \(n\) выполняется равенство \(a_{n+T}=a_n\). Наименьшее такое натуральное число \(T\) называют наименьшим периодом последовательности.

Периодическая последовательность является частным случаем числовой последовательности. Чтобы проверить периодичность, нужно сравнить члены, отстоящие друг от друга на одно и то же число позиций. Если равенство сохраняется для всех допустимых \(n\), последовательность периодическая.

Формула

\[a_{n+T}=a_n,\qquad n\in\mathbb{N},\quad T\in\mathbb{N}\]

Если подходят несколько значений \(T\), выбирают наименьшее. Например, если последовательность повторяется через 6 шагов, но также через 12, 18 и 24 шага, её наименьший период равен 6.

№

Пример

Рассмотрим последовательность \(2, 5, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1,\ldots\). Здесь каждые три члена повторяется набор \(2,5,1\). Поэтому \(a_{n+3}=a_n\), а наименьший период равен \(T=3\).

Не путайте с геометрической прогрессией

У геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением на постоянный знаменатель. Это не означает повторения членов. Например, \(1,2,4,8,\ldots\) — геометрическая, но не периодическая последовательность.

Проверьте себя

Каков наименьший период последовательности \(0,1,0,1,0,1,\ldots\)?

Главное за минуту

Главное

Периодическая последовательность повторяет свои члены через фиксированное число шагов.
Основное условие: \(a_{n+T}=a_n\) для всех \(n\), где \(T\) — натуральное число.
Наименьший подходящий период выбирают как период последовательности.