Показательное неравенство
Показательное неравенство — это неравенство, в котором неизвестное находится в показателе степени. Его решают, сравнивая основания или применяя монотонность показательной функции: при основании больше 1 знак сохраняется, а при основании от 0 до 1 меняется на противоположный.
Главное правило
Показательная функция возрастает при \(a>1\) и убывает при \(0<a<1\). Поэтому при одинаковых основаниях показатели можно сравнить напрямую только с учётом этого свойства.
Если основания разные, их стараются привести к одному основанию: например, \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}\). Если это невозможно, могут понадобиться замена переменной, оценка или свойства логарифма числа. Важно также помнить область допустимых значений всех выражений.
Решим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1}\le\left(\frac{1}{3}\right)^5\). Основание \(\frac13\) лежит между 0 и 1, поэтому знак меняется: \(2x-1\ge5\). Отсюда \(x\ge3\).
При основании \(a>1\) знак при сравнении показателей не меняется, а при \(0<a<1\) меняется. Нельзя автоматически писать \(f(x)\le g(x)\), не проверив основание.
Какое неравенство равносильно \(\left(\frac15\right)^{x+2}>\left(\frac15\right)^7\)?
После приведения к сравнению показателей неравенство решают обычными алгебраическими преобразованиями. Полезно сверять ответ с поведением функции на графике показательной функции. Решение показательных неравенств является отдельным навыком; показательные уравнения решают похожими, но не полностью одинаковыми приёмами.
Кратко
- Проверьте: \(a>1\) или \(0<a<1\).
- При \(a>1\) знак сохраняется, при \(0<a<1\) меняется.
- Приведите степени к общему основанию и решите полученное алгебраическое неравенство.