Системы показательных уравнений
Система показательных уравнений — это система, в которой неизвестная входит в показатели степеней. Если основания одинаковы, систему часто сводят к алгебраической заменой \(a^x=t\), где учитывают условие \(t>0\).
Основные способы шешімдер
Сначала полезно привести степени к одинаковому основанию. Затем применяют свойство \(a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v\) при \(a>0\) и \(a\ne1\). Если в системе повторяются выражения \(a^x\), \(a^{2x}\), \(a^{-x}\), выполняют замену \(t=a^x\). При этом обязательно записывают \(t>0\). После шешімдер полученной алгебраической системы возвращаются к \(x\) и проверяют найденные значения в исходной системе.
Иногда удобно выразить одну степень через другую и подставить её во второе уравнение. Если система имеет вид \(\begin{cases}a^{f(x,y)}=a^{g(x,y)},\\ a^{p(x,y)}=b\end{cases}\), первое уравнение можно заменить равенством показателей \(f(x,y)=g(x,y)\), а второе решить с учётом допустимых значений.
Решим систему \(\begin{cases}2^x+2^y=6,\\ 2^{x+y}=8.\end{cases}\) Положим \(u=2^x>0\) и \(v=2^y>0\). Тогда \(u+v=6\), а \(uv=2^{x+y}=8\). Числа \(u\) и \(v\) — корни уравнения \(z^2-6z+8=0\), поэтому \(\{u,v\}=\{2,4\}\). Следовательно, шешімдер: \((x,y)=(1,2)\) и \((2,1)\).
Замена \(t=a^x\) допустима только вместе с условием \(t>0\): отрицательные и нулевые значения нельзя возвращать к виду \(a^x\) при положительном основании. Кроме того, равенство показателей применяют лишь при одинаковом основании.
Какое условие обязательно при замене \(t=3^x\)?
Главное
- При одинаковых основаниях сравнивают показатели или используют замену \(t=a^x\).
- После замены обязательно сохраняют условие \(t>0\).
- Найденные значения проверяют в исходной системе.