Уравнение с корнем в степени

Теңдеулер с корнями произвольной степени решают по одному плану: находят область определения уравнения, выполняют равносильные преобразования, а затем проверяют найденные значения в исходном уравнении. Особенно внимательно нужно работать с корнями чётной степени: их подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Что называют корнем n-й степени

Корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют такое число \(b\), что \(b^n=a\). Обозначение: \(\sqrt[n]{a}=b\). Здесь \(n\) — натуральное число, большее 1, а \(a\) — подкоренное выражение.

Для корней чётной степени важно различать равенства \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\) и \(\sqrt[n]{x^n}=x\). Второе равенство дұрыс только при условии \(x\ge 0\). Для нечётного \(n\) справедливо \(\sqrt[n]{x^n}=x\) при любом действительном \(x\).

ОДЗ и равносильные преобразования

Сначала выпишите ограничения. Для каждого корня чётной степени потребуйте, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Если корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: нулевой знаменатель недопустим. Для корней нечётной степени ограничений на знак подкоренного выражения нет, но знаменатель всё равно не должен обращаться в ноль.

После нахождения ОДЗ можно переносить слагаемые, приводить подобные, раскладывать на множители и выполнять другие равносильные действия. Возведение в нечётную степень сохраняет равносильность на действительных числах. Возведение в чётную степень — только необходимое условие, поэтому после него проверяют все кандидаты.

1. Записать ОДЗ исходного уравнения.
2. Упростить уравнение и изолировать корень, если это возможно.
3. Возвести обе части в нужную степень или применить замену переменной.
4. Решить полученное уравнение, учитывая ОДЗ.
5. Тексеру кандидатов в исходном уравнении, а не только в преобразованном.

Базовые виды уравнений

Самый простой вид — \(\sqrt[n]{A(x)}=b\). Для нечётного \(n\) достаточно решить \(A(x)=b^n\). Для чётного \(n\) сначала нужно потребовать \(b\ge0\); если \(b<0\), действительных решений нет. Если правая часть содержит переменную, изолируйте корень и следите за её неотрицательностью.

Если корень равен другому корню той же степени, можно возвести обе части в степень \(n\), но при чётном показателе обе части уже неотрицательны автоматически. Например, \(\sqrt[6]{A(x)}=\sqrt[6]{B(x)}\) равносильно системе \(A(x)=B(x)\), \(A(x)\ge0\).

Уравнения с несколькими корнями обычно решают последовательным изолированием: один корень оставляют в одной части, остальные выражения переносят в другую, затем возводят в степень. После каждого возведения желательно сохранять промежуточные ограничения. Если структура похожа на многочлен относительно \(\sqrt[n]{x}\), применяйте степенное уравнение или замену переменной.

Разобранный пример

Этот пример показывает общий принцип, но для точного экзаменационного ответа обычно выбирают уравнение, где после возведения получается разложение на множители. Рассмотрим такое уравнение: \(\sqrt[3]{x-1}=2\). Тогда \(x-1=8\), откуда \(x=9\). Проверка: \(\sqrt[3]{8}=2\), равенство дұрыс.

Проверка и посторонние корни

Посторонний корень может возникнуть, если вы возвели уравнение в чётную степень, умножили на выражение, которое способно обращаться в ноль, или сократили множитель без учёта его нулевого значения. Поэтому найденные значения нужно подставить именно в исходное уравнение. Подробнее о причине таких ситуаций — на странице посторонний корень.

Связь с другими видами уравнений

Коренное уравнение может одновременно быть однородным, уравнением с двумя корнями немесе симметричным уравнением. Тогда способ решения выбирают по структуре, а не только по наличию радикалов. После устранения корней иногда возникает многочлен; для него полезны рациональные корни многочлена и теорема Виета для многочлена. Если несколько неизвестных связаны корнями, может понадобиться метод подстановки немесе метод сложения.