Область определения уравнения
Область определения уравнения — это все значения переменной, при которых выражения в уравнении имеют смысл. Перед решением дробного, коренного или логарифмического уравнения находят ограничения на переменную, то есть ОДЗ.
Как находят ОДЗ
Ограничения зависят от вида выражения. Для уравнений с дробями знаменатель не должен обращаться в ноль. В уравнениях с корнем чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В логарифмических уравнениях основание логарифма должно быть положительным и не равным \(1\), а аргумент — положительным.
ОДЗ составляют до преобразований уравнения. После получения решений каждое найденное значение проверяют: оно должно удовлетворять ограничениям и исходному уравнению. Это особенно важно при решении уравнений с дробями и при возведении обеих частей в квадрат.
Найдём ОДЗ уравнения \(\frac{2}{x-3}=\sqrt{x+1}\). Знаменатель не равен нулю: \(x-3\ne0\), значит, \(x\ne3\). Подкоренное выражение неотрицательно: \(x+1\ge0\), значит, \(x\ge-1\). Поэтому ОДЗ: \(x\ge-1\), \(x\ne3\).
ОДЗ — это только множество допустимых значений, а не множество корней. Например, для приведённого уравнения число \(x=0\) кіреді в ОДЗ, но ещё не является решением: это нужно проверить подстановкой.
Какое ограничение появляется в уравнении \(\log_2(x-5)=3\)?
Главное
- ОДЗ — значения переменной, при которых уравнение имеет смысл.
- Для дробей исключают нулевые знаменатели, для корней чётной степени требуют неотрицательный подкоренный выражение, для логарифмов — положительный аргумент и допустимое основание.
- ОДЗ находят до преобразований, а полученные корни проверяют по ОДЗ и в исходном уравнении.