Степенное уравнение
Степенное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное возводится в натуральную степень: \(x^n=a\). Число корней зависит от показателя степени \(n\) и значения правой части \(a\).
Степенное уравнение является частным случаем алгебраического уравнения. Перед решением полезно вспомнить свойства уравнений: равносильные преобразования не должны изменять множество корней.
Формула и правила
Если \(n\) — чётное число, то при \(a<0\) действительных корней нет; при \(a=0\) единственный корень \(x=0\); при \(a>0\) два корня: \(x=\pm\sqrt[n]{a}\). Если \(n\) — нечётное число, то при любом действительном \(a\) существует один действительный корень: \(x=\sqrt[n]{a}\).
Решим уравнение \(x^4=16\). Показатель степени чётный, правая часть положительна, поэтому корней два: \(x=\pm\sqrt[4]{16}=\pm2\). Ответ: \(x_1=2\), \(x_2=-2\).
Запись \(\sqrt[n]{a}\) обозначает главный неотрицательный корень, если \(n\) чётное. Поэтому из \(x^2=9\) следует не только \(x=3\), а \(x=\pm3\). Однако выражение \(\sqrt{9}\) равно только \(3\).
Сколько действительных корней имеет уравнение \(x^5=-32\)?
Главное
- Степенное уравнение имеет вид \(x^n=a\), где \(n\in\mathbb{N}\).
- При чётном \(n\) число действительных корней определяется знаком \(a\): 0, 1 или 2; при нечётном \(n\) корень всегда один.
- Для чётной степени важно записывать оба корня: \(x=\pm\sqrt[n]{a}\) при \(a>0\).