Системы уравнений: метод подстановки
Метод подстановки позволяет решить систему, если из одного уравнения удобно выразить одну переменную через другую, а затем подставить это выражение во второе уравнение. Особенно часто так решают системы, содержащие квадрат одной переменной: после подстановки получается обычное квадратное уравнение.
Идея метода подстановки
Система уравнений задаёт условия, которым одновременно должны удовлетворять переменные. Поэтому выражение, равное \(x\) немесе \(y\) в одном уравнении, можно заменить им в другом. Такая замена называется подстановкой.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую, полученное выражение подставляют во второе уравнение, находят возможные значения оставшейся переменной, а затем вычисляют первую переменную.
Если из уравнения системы выразить переменную равным выражением и подставить это выражение в другое уравнение, множество решений системы не изменится. После нахождения корней обязательно нужно восстановить обе переменные и проверить пары в исходной системе.
Обычно выгодно выражать переменную, коэффициент при которой равен \(1\) немесе \(-1\). Если в уравнении уже есть \(x=...\) немесе \(y=...\), подстановка выполняется сразу. Если выражение содержит дробь, её нужно записывать аккуратно: при необходимости сначала привести уравнение к удобному виду.
Алгоритм шешімдер
- Выберите уравнение и переменную, которую проще выразить.
- Выразите эту переменную через другую, выполняя одинаковые преобразования с обеими частями уравнения.
- Подставьте полученное выражение во второе уравнение. Если встречается квадрат или другая степень, возведите в степень всю скобку.
- Решите получившееся уравнение относительно оставшейся переменной.
- Для каждого найденного значения вычислите выраженную переменную.
- Запишите пары в ответ и проверьте их подстановкой в оба исходных уравнения.
Если после подстановки получается квадратное уравнение, его решают обычными способами: разложением на множители, выделением полного квадрата или по дискриминанту. При этом полезно учитывать область допустимых значений: например, квадрат переменной не может быть отрицательным.
Сначала ищите уравнение, где переменная уже стоит отдельно или имеет небольшой коэффициент. Выражение \(x=2-y\) обычно удобнее, чем \(3x=7-2y\), а линейное уравнение удобнее квадратного.
Из какого уравнения системы удобнее выразить \(x\)?
Системы с квадратами переменных
В системах квадратные выражения часто образуют окружность, параболу или другую кривую. Решение системы можно понимать как координаты точек пересечения графиков. Однако для экзамена чаще всего достаточно алгебраической подстановки. Если система состоит из окружности и прямой, после выражения одной переменной получается квадратное уравнение, а его корни соответствуют точкам пересечения.
В отличие от системы линейных уравнений, здесь после подстановки может появиться несколько решений. Это нормально: квадратное уравнение имеет до двух корней. Но каждый корень нужно проверить, потому что преобразования с корнями, дробями или возведением в квадрат иногда могут привести к посторонним значениям.
Разобранный пример
Решим систему методом подстановки: \(\begin{cases}x+y=5,\\ x^2+y^2=13.\end{cases}\)
Жауабы: \((3;2)\) и \((2;3)\). Обе пары удовлетворяют и первому уравнению: сумма координат равна \(5\). Реті координат важен: \((3;2)\) и \((2;3)\) — разные шешімдер, хотя в данном примере обе пары подходят.
Особые случаи и проверка
После подстановки возможны разные результаты. Если получается квадратное уравнение с двумя корнями, система имеет до двух соответствующих пар. Если корень один, возможно одно решение. Если действительных корней нет, система не имеет действительных решений. Иногда после упрощения получается тождество, например \(0=0\): тогда нужно дополнительно исследовать исходные условия, и шешімдер может быть бесконечно много.
| Результат после подстановки | Вывод |
|---|---|
| Два действительных корня | Нужно проверить и восстановить две пары. |
| Один действительный корень | Получается одна пара, если она подходит исходной системе. |
| Нет действительных корней | Действительных шешімдер нет. |
| Тождество | Возможны бесконечно многие шешімдер; анализируют исходную систему. |
1. Подставляют только часть выражения: вместо \((5-y)^2\) пишут \(5-y^2\). 2. Теряют знак минус при переносе слагаемого. 3. Находят значения одной переменной, но не вычисляют вторую. 4. Записывают \(x\) и \(y\) в неправильном порядке. 5. Не проверяют корни в исходной системе. 6. При извлечении квадратного корня забывают знак \(\pm\): из \(x^2=9\) следуют \(x=3\) и \(x=-3\).
После решения уравнения для одной переменной нельзя сразу записывать её как ответ системы. Ответ системы состоит из пар \((x;y)\), поэтому вторую переменную нужно восстановить для каждого корня.
Когда выбрать другой метод
Метод подстановки особенно удобен, когда переменная легко выражается явно. Если в обоих уравнениях переменные имеют похожие коэффициенты, быстрее может оказаться метод сложения. Не следует смешивать подстановку с методом замены: в школьных задачах эти названия иногда используют близко, но здесь основной приём — именно выразить переменную из одного уравнения и заменить ею переменную во втором.
Тема кіреді в общую систему уравнений и неравенств. Перед решением полезно повторить квадратное уравнение с двумя корнями и способы его шешімдер.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Выберите уравнение, где переменную проще всего выразить.
- Подставьте выражение во второе уравнение, не забывая скобки и степени.
- Решите получившееся уравнение и восстановите вторую переменную для каждого корня.
- Запишите шешімдер парами \((x;y)\) и проверьте их в исходной системе.
- При квадратных системах возможно до двух действительных решений; отсутствие действительных корней означает отсутствие действительных решений.