Системы уравнений: метод замены
Метод замены в системе уравнений — это способ решения, при котором повторяющееся сложное выражение обозначают новой переменной, решают более простую систему, а затем возвращаются к исходным неизвестным.
Как применяют метод
Сначала находят выражение, которое несколько раз встречается в системе или делает её структуру проще. Затем вводят замену \(t=\varphi(x,y)\) и добавляют это равенство в систему. Полученную систему решают относительно \(t\) и оставшихся выражений. В конце находят \(x\) и \(y\), выполняя обратную замену.
Метод замены не следует путать с методом замены переменной в уравнениях: здесь новую переменную вводят сразу для системы, обычно чтобы использовать её общую структуру. В отличие от метода подстановки, заменяют не одну неизвестную через другую, а целое выражение.
Решим систему \(\begin{cases}x+y=5,\\ x^2+y^2=13.\end{cases}\) Введём \(s=x+y\). Тогда \(s=5\), а из равенства \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) получаем \(25=13+2xy\), то есть \(xy=6\). Значит, \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(z^2-5z+6=0\). Отсюда \(z=2\) или \(z=3\), поэтому решения системы: \((2;3)\) и \((3;2)\).
Нельзя просто заменить выражение буквой и забыть условие замены. Если введено \(t=x+y\), равенство \(x+y=t\) нужно сохранить или использовать при обратном переходе. Иначе можно получить лишние решения.
Какую замену удобно ввести в системе, где в обоих уравнениях встречается выражение \(x^2+y^2\)?
После обратной замены найденные пары нужно подставить в исходную систему. Это особенно важно, если при преобразованиях возводили равенства в квадрат, извлекали корни или делили на выражение, которое может обращаться в ноль.
Главное
- Метод замены превращает повторяющееся сложное выражение в новую переменную.
- После решения упрощённой системы обязательно выполняют обратную замену.
- Все найденные пары проверяют в исходной системе.