Свойства уравнений
Свойства уравнений — это правила, которые позволяют преобразовывать уравнение и сохранять множество его корней. Благодаря им уравнение можно упростить, не изменив его решения.
Основные свойства
- Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, множество корней уравнения не изменится.
- Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение, корни также сохранятся.
- Если обе части умножить на одно и то же ненулевое число, множество корней не изменится.
- Если обе части разделить на одно и то же ненулевое число, корни сохранятся.
При преобразованиях важно учитывать область определения уравнения. Например, нельзя делить обе части на выражение, которое может быть равно нулю: при таком шаге можно потерять корень. Возведение обеих частей в квадрат, извлечение корня и умножение на выражение, зависящее от переменной, требуют дополнительной проверки.
Решим уравнение \(3x-5=10\). Прибавим \(5\) к обеим частям: \(3x=15\). Разделим обе части на \(3\): \(x=5\). Оба шага выполнены по свойствам уравнений, поэтому полученный корень равносилен исходному. Проверка: \(3\cdot5-5=10\).
В уравнении знак равенства можно сохранять при умножении или делении на ненулевое число. В неравенстве при умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный. Это правило относится к неравенствам, а не к уравнениям.
Какое преобразование точно сохраняет множество корней уравнения?
Главное
- К обеим частям уравнения можно прибавлять или вычитать одно и то же выражение.
- Обе части можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число или выражение.
- При преобразованиях нужно учитывать область определения и проверять корни, если операция может добавить посторонние решения.