Задания № 13, 17 · ЕГЭ

Теорема Виета для многочлена

Как коэффициенты многочлена связаны с его корнями

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Теорема Виета связывает корни многочлена с его коэффициентами: по корням можно восстановить некоторые коэффициенты, а по коэффициентам — составить уравнения для поиска корней. Особенно часто её применяют для квадратных и кубических уравнений.

Если многочлен степени \(n\) имеет вид \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0\), где \(a_n\ne0\), и его корни с учётом кратности равны \(x_1,x_2,\dots,x_n\), то коэффициенты выражаются через элементарные симметрические суммы корней. Иными словами, сумма корней, суммы их попарных произведений и так далее определяются коэффициентами многочлена.

\[\begin{aligned}x_1+x_2+\dots+x_n&=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\\ x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n&=\frac{a_{n-2}}{a_n},\\ &\dots\\ x_1x_2\dots x_n&=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.\end{aligned}\]1

Для корней многочлена важно учитывать их кратность. Если многочлен приведённый, то есть \(a_n=1\), формулы упрощаются: сумма корней равна \(-a_{n-1}\), а произведение всех корней равно \((-1)^na_0\).

№

Пример

Рассмотрим \(x^3-6x^2+11x-6=0\). По теореме Виета сумма корней равна \(6\), сумма попарных произведений — \(11\), а произведение корней — \(6\). Подходящие числа: \(1\), \(2\) и \(3\). Действительно, \(1+2+3=6\), \(1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=11\), \(1\cdot2\cdot3=6\). Поэтому \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Не перепутайте знаки

Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) верно: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), а \(x_1x_2=\frac{c}{a}\). Знак «минус» стоит только перед суммой корней, но не перед их произведением. Теорема применима и тогда, когда корни не являются целыми или действительными, однако для подбора простых корней она особенно удобна.

Проверьте себя

Чему равна сумма корней уравнения \(2x^3-5x^2+7x-4=0\)?

Главное за минуту

Главное

Коэффициенты многочлена выражаются через суммы и произведения его корней с учётом кратности.
Для многочлена \(a_nx^n+\dots+a_0\) сумма корней равна \(-\frac{a_{n-1}}{a_n}\), а произведение всех корней — \((-1)^n\frac{a_0}{a_n}\).
Теорема помогает проверять найденные корни и выполнять разложение многочлена на множители.