Задание № 17 · ЕГЭ

Симметрическое уравнение

Определение, признак и решение заменой \(t=x+\frac{1}{x}\)

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Симметрическое уравнение — это уравнение, в котором коэффициенты многочлена расположены симметрично относительно середины. Уравнения чётной степени такого вида часто решают заменой \(t=x+\frac{1}{x}\).

Симметрическое уравнениеНазвание связано с симметричным расположением коэффициентов: первый и последний, второй и предпоследний коэффициенты равны.

Уравнение вида \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0\), в котором коэффициенты удовлетворяют равенствам \(a_i=a_{n-i}\). Для стандартной замены обычно рассматривают уравнение чётной степени \(2n\) с ненулевым свободным членом: \(a_{2n}x^{2n}+\dots+a_1x+a_0=0\), где \(a_i=a_{2n-i}\).

Как распознать и решить

Сначала проверьте равенство коэффициентов, стоящих на одинаковом расстоянии от концов многочлена. Затем убедитесь, что \(x=0\) не является допустимым корнем: при делении на степень \(x\) это важно. Используйте замену переменной в уравнении и при необходимости применяйте метод замены переменной в уравнениях.

\[t=x+\frac{1}{x},\qquad x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,\qquad t\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\]

Для уравнения четвёртой степени после деления на \(x^2\) появляются выражения \(x^2+\frac{1}{x^2}\) и \(x+\frac{1}{x}\). Их заменяют через \(t\), получают квадратное уравнение относительно \(t\), а затем возвращаются к \(x\): \(x+\frac{1}{x}=t\), то есть \(x^2-tx+1=0\).

№

Пример

Решим \(x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0\). Делим на \(x^2\): \(x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0\). При \(t=x+\frac{1}{x}\) получаем \(t^2-5t+4=0\), откуда \(t=1\) или \(t=4\). Значение \(t=1\) не подходит, так как \(t\notin[-2,2]\). При \(t=4\): \(x^2-4x+1=0\), поэтому \(x=2\pm\sqrt{3}\).

Не путайте

Симметрическое уравнение — не любое уравнение, которое удобно решать заменой. Например, однородное уравнение имеет другой признак: степени одноимённых слагаемых связаны особым образом. В симметрическом уравнении ключевой признак — взаимная симметрия коэффициентов.

Проверьте себя

Какую замену применяют к уравнению четвёртой степени с симметричными коэффициентами?

Главное за минуту

Главное

Коэффициенты симметрического уравнения равны попарно с концов: \(a_i=a_{n-i}\).
Для уравнения чётной степени используют \(t=x+\frac{1}{x}\) и условие \(t\le-2\) или \(t\ge2\).
После нахождения \(t\) решают квадратное уравнение \(x^2-tx+1=0\) и проверяют корни.