ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Целое решение уравнения

Как найти и проверить корни уравнения среди целых чисел
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Целое решение уравнения — это такое значение переменной, которое является целым числом и после подстановки превращает уравнение в верное равенство. Чтобы найти целые решения, используют ограничения на переменную, перебирают подходящие числа и обязательно выполняют проверку.

Целое решение уравненияСлово «целое» означает, что решение не имеет дробной части: $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$.
Целым решением уравнения называется целое число \(x_0\), при котором левая и правая части уравнения имеют одинаковые значения. Иными словами, \(x_0\in\mathbb{Z}\) и после подстановки \(x=x_0\) получается верное равенство.

Как искать целые решения

Сначала преобразуйте уравнение и определите область допустимых значений: нельзя делить на ноль, извлекать квадратный корень из отрицательного числа или брать логарифм от неположительного выражения. Затем используйте полученные ограничения. Если переменная должна быть целой и лежать, например, в промежутке \(-3\le x\le 4\), достаточно проверить конечный набор чисел: \(-3,-2,-1,0,1,2,3,4\).

\[x\in\mathbb{Z},\qquad f(x)=g(x)\]

Если уравнение сводится к произведению или дроби, полезны свойства делимости. Например, из \(ab=0\) следует \(a=0\) или \(b=0\). После нахождения кандидатов подставьте каждый из них в исходное уравнение, а не только в преобразованное. Это особенно важно при возведении обеих частей в квадрат и при умножении на выражение, которое может быть равно нулю.

№
Пример

Найти целые решения уравнения \(\frac{6}{x-1}=2\). Ограничение: \(x\ne1\). Умножаем на \(x-1\): \(6=2(x-1)\), откуда \(x=4\). Число \(4\) целое и допустимо. Проверка: \(\frac{6}{4-1}=\frac{6}{3}=2\). Ответ: \(x=4\).

!
Не путайте

Целое решение — это не любое решение уравнения, а только решение из множества целых чисел. Например, уравнение может иметь корни \(x=1\) и \(x=\frac12\), но целым решением будет только \(1\). Не смешивайте эту тему с целыми решениями неравенства: там проверяют не равенство, а знак выражения.

Проверьте себя

Какое число является целым решением уравнения \(\frac{4}{x+1}=1\)?

Перед поиском полезно вспомнить, что такое уравнение и его корни: корень должен удовлетворять исходному равенству. В заданиях с параметрами ограничения могут зависеть от параметра, поэтому сначала находят допустимые значения параметра и переменной, а затем отбирают целые корни.

Главное за минуту

Главное

  • Целое решение — корень уравнения, принадлежащий множеству \(\mathbb{Z}\).
  • Сначала находят ограничения и кандидатов, затем проверяют их в исходном уравнении.
  • Дробные и недопустимые корни не являются целыми решениями.