Задания № 14, 19, 21 · ЕГЭ

Квадратное неравенство с параметром

Как по параметру определить корни и знаки квадратного трёхчлена

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Квадратное неравенство с параметром — это неравенство, в котором коэффициенты или правая часть зависят от неизвестного параметра. Исследование сводится к определению положения корней квадратного трёхчлена и промежутков, где он положителен или отрицателен.

Неравенство вида \(a(t)x^2+b(t)x+c(t)>0\), \(<0\), \(\ge 0\) или \(\le 0\), где \(x\) — переменная, \(t\) — параметр, а \(a(t)\ne 0\) при рассматриваемых значениях параметра. Для каждого значения \(t\) находят множество допустимых \(x\).

Сначала удобно рассмотреть квадратное неравенство без параметра: вычислить дискриминант, найти корни и применить метод промежутков. Затем отдельно исследуют, как параметр влияет на коэффициент \(a\), дискриминант и взаимное расположение корней. Это частный случай неравенств с параметрами.

Основная формула

\[D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

Если \(D<0\), корней нет, и трёхчлен сохраняет знак коэффициента \(a\). Если \(D=0\), есть один корень \(x_0\), а знак не меняется при переходе через него. Если \(D>0\), корни \(x_1<x_2\) разделяют числовую прямую на три промежутка: знак трёхчлена совпадает со знаком \(a\) вне отрезка между корнями и противоположен ему внутри.

№

Пример

Исследуем \(x^2-(t+1)x+t>0\). Здесь \(D=(t+1)^2-4t=(t-1)^2\ge0\), а корни: \(x_1=1\) и \(x_2=t\). Их порядок зависит от параметра: при \(t>1\) имеем \(1<t\), при \(t<1\) — \(t<1\), а при \(t=1\) корни совпадают. Так как \(a=1>0\), выражение положительно вне промежутка между корнями.

Не путайте

Квадратное неравенство с двумя параметрами содержит два параметра и требует исследования области значений обоих. В обычной задаче рассматривают один параметр, а \(x\) остаётся переменной.

Проверьте себя

Какой знак имеет \(2x^2+1\) при любом действительном \(x\)?

Главное за минуту

Главное

Параметрическое квадратное неравенство исследуют через коэффициент \(a\), дискриминант и положение корней.
При \(D<0\) знак постоянен; при \(D>0\) знак меняется на корнях и определяется методом промежутков.
Для каждой границы параметра нужно отдельно учитывать случаи \(D=0\), \(a=0\) и совпадение корней.