Смешанные системы с модулем
Смешанная система с модулем — это система, в которой хотя бы одно уравнение или неравенство содержит выражение с модулем. Её решают одновременно: находят значения переменных, удовлетворяющие каждому условию системы.
Сначала удобно упростить условие с модулем, используя свойства модуля. Неравенства с модулями полезно повторить заранее. Затем решают остальные уравнения или неравенства и пересекают полученные множества. Если система содержит две переменные, часто выражают одну переменную через другую, строят области на координатной плоскости или рассматривают несколько случаев.
Модуль раскрывают по знаку выражения под модулем. После решения отдельных случаев обязательно проверяют ограничения и сохраняют только точки, которые выполняют все условия системы.
Решим систему \(\begin{cases}|x-2|\le 3,\\x>0.\end{cases}\) Первое условие равносильно двойному неравенству \(-3\le x-2\le3\), откуда \(-1\le x\le5\). Пересекаем его с условием \(x>0\) и получаем ответ: \(x\in(0;5]\).
В системе условия соединены словом «и», поэтому берут пересечение решений. Объединение появляется при разборе разных случаев раскрытия модуля или в совокупности, где условия соединены словом «или».
Какое множество является решением системы \(\begin{cases}|x|<2,\\x\ge1\end{cases}\)?
В более сложных задачах система может включать смешанные системы уравнений и неравенств без модуля, а модуль добавляет разбиение на случаи. После получения ответа полезно подставить каждое найденное значение во все строки системы.
Главное
- Смешанная система с модулем требует выполнить все её условия одновременно.
- Модуль раскрывают по знаку выражения внутри него, а результаты разных случаев объединяют.
- Финальный ответ получают пересечением решений всех условий системы и проверкой.