Неравенство с корнем и модулем

Неравенства с корнем и модулем требуют действовать последовательно: сначала найти ОДЗ, затем выбрать способ раскрытия модуля и только после этого преобразовывать корень. Главная цель — не потерять ограничения и получить равносильную систему или совокупность.

1. Что нужно проверить до преобразований

В выражении вида \(\sqrt{f(x)}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это условие входит в ОДЗ и записывается до любых возведений в квадрат. Если корень находится в знаменателе, дополнительно требуется \(f(x)>0\).

Модуль \(|g(x)|\) определён при любых значениях \(g(x)\), но его нельзя автоматически заменить на \(g(x)\) или \(-g(x)\). Знак выражения внутри модуля нужно установить отдельно.

Если в неравенстве встречается корень и модуль, полезно сначала оценить их знаки. Например, \(\sqrt{x+1}\ge0\), поэтому неравенство \(\sqrt{x+1}\le |x-2|\) имеет неотрицательные обе части. Это позволяет возвести его в квадрат без изменения смысла, но только после проверки ОДЗ.

2. Как выбирать способ решения

Рассмотрим типичную структуру \(\sqrt{f(x)}\le |g(x)|\). Алгоритм зависит от правой части.

1. Записать ОДЗ: \(f(x)\ge0\).
2. Убедиться, что обе части неотрицательны: корень неотрицателен, модуль неотрицателен.
3. Возвести обе части в квадрат: \(f(x)\le g^2(x)\).
4. Решить получившееся неравенство вместе с ОДЗ.

Для структуры \(\sqrt{f(x)}\ge |g(x)|\) тот же приём также работает: обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат и получить \(f(x)\ge g^2(x)\) при условии \(f(x)\ge0\).

Если модуль сравнивается не с корнем, а с выражением неизвестного знака, сначала нужно рассмотреть знак второй части. Например, в \(|g(x)|<h(x)\) обязательно \(h(x)>0\), потому что модуль не бывает отрицательным. Затем можно перейти к двойному неравенству \(-h(x)<g(x)<h(x)\).

3. Разобранный пример

Решим неравенство \(\sqrt{x+2}\le|x-1|\). Здесь корень и модуль стоят по разные стороны, поэтому применим сравнение квадратов.

Обратите внимание: раскрывать \(|x-1|\) в этом примере не понадобилось. Если всё же раскрывать модуль, пришлось бы рассматривать два случая: \(x\ge1\), где \(|x-1|=x-1\), и \(x<1\), где \(|x-1|=1-x\). Оба способа дадут тот же ответ, но решение будет длиннее.

4. Когда модуль нужно раскрывать по случаям

Модуль раскрывают по знаку выражения внутри него. Для \(|ax+b|\) критическая точка находится из уравнения \(ax+b=0\). Она делит числовую прямую на промежутки, где знак выражения постоянен.

Например, в неравенстве \(\sqrt{x+5}+|x-2|>4\) ОДЗ даёт \(x\ge-5\), а точка раскрытия модуля — \(x=2\). Поэтому рассматривают промежутки \([-5,2)\) и \([2,+\infty)\). На первом промежутке \(|x-2|=2-x\), на втором \(|x-2|=x-2\).

• Записать ОДЗ корня.
• Найти нули выражений под модулями.
• Разбить ОДЗ на промежутки этими точками.
• На каждом промежутке заменить модуль подходящим выражением.
• Проверить границы и объединить ответы.

5. Быстрый алгоритм и связь с другими темами

Если преобразования приводят к квадратному или рациональному неравенству, применяйте неравенства с корнями и иррациональные неравенства. Правила раскрытия модуля удобно повторить в теме неравенств с модулями, а для формы \(a\le|f(x)|\le b\) — в теме двойного неравенства с модулем. Если после преобразований возникает несколько критических точек, помогает метод интервалов.

1. Выписать ОДЗ.
2. Определить знаки обеих частей.
3. Решить, что выгоднее: возвести в квадрат или раскрыть модуль по случаям.
4. Решить полученные неравенства.
5. Пересечь ответы с ОДЗ и записать объединение промежутков.