Знак квадратного трехчлена
Знак квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) зависит от коэффициента \(a\), дискриминанта и расположения корней. Эти сведения позволяют быстро определить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю.
Основное правило
Сначала находят дискриминант и учитывают знак \(a\).
- Если \(D>0\), есть два корня \(x_1<x_2\). При \(a>0\) трёхчлен положителен вне отрезка \([x_1;x_2]\), отрицателен внутри и равен нулю в корнях. При \(a<0\) знаки меняются на противоположные.
- Если \(D=0\), есть один корень \(x_0\). При \(a>0\) трёхчлен неотрицателен и обращается в ноль только при \(x=x_0\); при \(a<0\) он неположителен.
- Если \(D<0\), действительных корней нет. Знак трёхчлена постоянен и совпадает со знаком \(a\).
Определим знак \(f(x)=x^2-5x+6\). Здесь \(a=1>0\), а \(D=25-24=1>0\). Корни: \(x_1=2\) и \(x_2=3\). Поэтому \(f(x)>0\) при \(x<2\) и \(x>3\), \(f(x)<0\) при \(2<x<3\), а \(f(x)=0\) при \(x=2\) немесе \(x=3\). Такой разбор является основой шешімдер квадратного неравенства.
Знак выражения и знак коэффициента \(a\) совпадают на внешних промежутках только при двух различных корнях. При \(D<0\) знак действительно постоянен и равен знаку \(a\), но при \(D=0\) в единственном корне выражение равно нулю. График помогает увидеть это: график квадратичной функции и неравенства касается или пересекает ось \(x\).
Для \(f(x)=-x^2+4x-3\) где выражение положительно?
Главное
- При \(D>0\) знак меняется в двух корнях; при \(D=0\) есть один нулевой корень; при \(D<0\) знак постоянен.
- На промежутках знак определяется с учётом направления ветвей: знаком коэффициента \(a\).
- Нули трёхчлена находят из уравнения \(ax^2+bx+c=0\), а затем отмечают на числовой прямой.