Система квадратных уравнений
Система квадратных уравнений — это несколько уравнений с двумя переменными, в которых переменные входят во второй степени или образуют произведения. Чтобы решить такую систему, нужно найти все пары \((x,y)\), одновременно удовлетворяющие каждому уравнению; основные приёмы — подстановка, сложение или вычитание уравнений, разложение на множители и замена переменных.
Что означает решить систему
Решением системы называется упорядоченная пара чисел \((x,y)\), которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Ответом может быть одна пара, несколько пар, бесконечное множество пар или пустое множество.
Система квадратных уравнений — система, в которой хотя бы одно уравнение является квадратным относительно переменных: содержит \(x^2\), \(y^2\) или произведение \(xy\). Например, \(\begin{cases}x^2+y^2=25,\\x+y=7.\end{cases}\)
Перед решением полезно повторить решение квадратных уравнений: дискриминант, формулы корней и разложение квадратного трёхчлена на множители. Система отличается от одного уравнения тем, что найденные значения нужно проверять сразу в обоих уравнениях.
При преобразовании системы нельзя терять решения и нельзя добавлять посторонние. Возведение в квадрат, деление на выражение с переменной и извлечение корня требуют отдельной проверки или записи ограничений.
Метод подстановки
Метод подстановки удобен, если из одного уравнения легко выразить \(x\), \(y\), \(x^2\) или \(y^2\). Полученное выражение подставляют во второе уравнение, после чего получают одно уравнение с одной переменной.
- Выразить одну переменную или её квадрат из более простого уравнения.
- Подставить выражение во второе уравнение.
- Решить полученное уравнение, часто квадратное или биквадратное.
- Найти вторую переменную для каждого найденного значения.
- Проверить полученные пары в исходной системе.
Если известно \(y^2\), то после подстановки может возникнуть условие \(y=\pm\sqrt{y^2}\). Знак нельзя выбирать произвольно: каждое найденное значение нужно согласовать с исходными уравнениями.
Если одно уравнение имеет вид \(x+y=a\), выразите, например, \(y=a-x\). Если второе содержит \(x^2+y^2\), после подстановки получится обычное квадратное уравнение.
Сложение, вычитание и разложение на множители
Если в уравнениях присутствуют одинаковые квадратичные части, их удобно вычесть или сложить. Так можно получить линейное уравнение, например \(x-y=0\) или \(x+y=4\), а затем применить подстановку. Этот подход похож на методы, используемые в системах линейных уравнений, но после исключения квадратов всё равно требуется решить оставшуюся часть.
Иногда разность уравнений сразу раскладывается на множители. Например, из равенства \(x^2=y^2\) следует \(x^2-y^2=0\), то есть \((x-y)(x+y)=0\). Поэтому система распадается на два случая: \(x=y\) или \(x=-y\).
Если \(A\cdot B=0\), то \(A=0\) или \(B=0\). При решении системы каждый случай рассматривают отдельно, а затем объединяют найденные решения.
Для систем с произведениями вида \(xy\), суммами \(x+y\) и квадратами \(x^2+y^2\) часто полезна симметрическая система уравнений. В ней вводят новые переменные \(s=x+y\) и \(p=xy\), а затем восстанавливают \(x\) и \(y\) как корни квадратного уравнения.
Замена переменной и ограничения
Замена переменной сокращает запись, если система содержит повторяющееся выражение. Например, при наличии \(x^2+y^2\) и \(xy\) можно обозначить \(u=x^2+y^2\), \(v=xy\). Если встречается \(x^4\), удобно положить \(t=x^2\), но затем обязательно учесть ограничение \(t\ge 0\).
После решения относительно \(t\) возвращаются к \(x\): значение \(t<0\) отбрасывается, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Аналогично, при делении на \(x-y\) нужно отдельно рассмотреть случай \(x-y=0\).
Какие случаи нужно рассмотреть из равенства \((x-2)(y+3)=0\)?
Разобранный пример
Решим систему \(\begin{cases}x+y=7,\\x^2+y^2=25.\end{cases}\)
Заметим, что система симметрична относительно замены \(x\) и \(y\), поэтому появление двух пар \((3,4)\) и \((4,3)\) закономерно. Графически решения — точки пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) и прямой \(x+y=7\).
Проверка и типичные ошибки
Проверка особенно важна, если при решении выполнялось возведение в квадрат, умножение на выражение с переменной, извлечение корня или замена переменной. Проверяют не отдельные координаты, а всю пару в каждом исходном уравнении.
1. Потеря знака: из \(y^2=9\) записывают только \(y=3\), хотя возможны \(y=3\) и \(y=-3\). 2. Деление без оговорки: при делении на \(x\) забывают случай \(x=0\). 3. Неправильное раскрытие скобок: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). 4. Запись всех найденных значений как пар без проверки. 5. Смешение порядка координат: \((2,5)\) и \((5,2)\) — разные решения.
Сначала выберите самое простое уравнение для преобразования. Затем сведите систему к одному уравнению, решите его, восстановите вторую переменную и проверьте пары. В ответе указывайте именно пары \((x;y)\) или \((x,y)\).
Быстрая проверка
Главное
- Решение системы — это пара, верная одновременно в каждом уравнении.
- Метод подстановки сводит систему к одному уравнению с одной переменной.
- Сложение, вычитание и разложение на множители помогают исключить одинаковые квадратичные части.
- При замене \(t=x^2\) учитывают условие \(t\ge0\); при делении и возведении в квадрат контролируют равносильность.
- Финальный шаг всегда один: восстановить вторую переменную и проверить все пары в исходной системе.