ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 12, 13, 15 · ЕГЭ

Решение стереометрических задач

Универсальный алгоритм решения задач на расстояния, углы, сечения и площади в пространстве
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Стереометрическая задача становится управляемой, если сначала перевести пространственную конфигурацию на язык плоских сечений, проекций, координат или векторов. Ниже приведён универсальный план: от чтения условия и построения рисунка до проверки ответа.

1. Общий план разбора задачи

Перед вычислениями определите, что именно требуется найти: длину, расстояние, угол, площадь сечения или площадь поверхности. Затем выпишите данные и установите, какие объекты связаны условием. Не стоит сразу подставлять числа: сначала найдите геометрическую модель задачи.

  1. Сделайте пространственный рисунок и отметьте известные длины, углы и параллельность.
  2. Определите тип взаимного расположения объектов: пересекаются, параллельны или являются скрещивающимися.
  3. Выберите способ решения: плоское сечение, ортогональная проекция, координаты, векторы или комбинация методов.
  4. Сформулируйте промежуточную цель: построить перпендикуляр, найти проекцию, получить прямоугольный треугольник или уравнение плоскости.
  5. Выполните вычисления и проверьте размерность, знак, диапазон угла и соответствие рисунку.
Как выбрать метод

Если в условии много перпендикуляров и прямоугольных треугольников, начинайте с планиметрии. Если нужно расстояние между скрещивающимися прямыми или угол между плоскостями, удобны векторы в пространстве и скалярное произведение. Если фигура задана координатами, переходите к формулам координатного метода.

D
Расстояние в пространстве

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Расстояние между параллельными плоскостями — длина любого перпендикулярного отрезка между ними. Для скрещивающихся прямых расстоянием называют длину их общего перпендикуляра.

2. Расстояния и углы

Главный принцип: расстояние ищут по перпендикуляру, а угол — по двум пересекающимся прямым или по их направляющим векторам. Свойства точки, прямой и плоскости помогают понять, где именно строить вспомогательный отрезок.

T
Теорема о трёх перпендикулярах

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Теорема часто позволяет доказать, что найденный отрезок является общим перпендикуляром.

\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

Формула выше даёт расстояние между двумя точками в координатах. Для плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) расстояние от точки \(M(x_0,y_0,z_0)\) равно:

\[d(M,\alpha)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

Угол между векторами находят через скалярное произведение. Если угол между ненулевыми векторами \(\vec a\) и \(\vec b\) равен \(\varphi\), то используется модуль косинуса, когда нужен острый угол между прямыми.

\[\cos\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}\]

Угол между прямой и плоскостью дополняет до \(90^\circ\) угол между прямой и нормалью к плоскости. Угол между плоскостями находят как угол между их нормалями или как угол между двумя прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Микропроверка

Какой отрезок непосредственно задаёт расстояние от точки до плоскости?

3. Сечения и площади

Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, полученный пересечением многогранника и плоскости. Строить его нужно последовательно: найти точки пересечения плоскости с рёбрами, соединить точки, лежащие на одной грани, и проверить, что полученный многоугольник замкнут.

T
Правило построения сечения

Внутри одной грани линия сечения является отрезком, соединяющим точки пересечения секущей плоскости с рёбрами этой грани. Если секущая плоскость пересекает параллельные грани, соответствующие отрезки сечения параллельны.

В задачах на сечение тетраэдра полезно заранее повторить сечение тетраэдра: там особенно хорошо видно, как находить недостающие точки и использовать подобие треугольников. После построения сечения задача обычно сводится к вычислению площади треугольника, трапеции или другой плоской фигуры.

\[S_{\triangle}=\frac12 ab\sin\gamma\]
\[S_{\text{трапеции}}=\frac{a+b}{2}\cdot h\]

Если требуется площадь поверхности, разделите тело на простые грани, найдите площадь каждой и сложите. Не включайте в площадь поверхности внутренние сечения, если это прямо не указано в условии.

4. Координатный и векторный методы

Координатный метод особенно удобен для прямоугольного параллелепипеда, куба, призмы и пирамиды с известными высотой и основанием. Выберите начало координат в удобной вершине, направьте оси вдоль рёбер и запишите координаты всех нужных точек. Страница координаты точки в пространстве помогает не ошибиться при таком выборе.

  • Вектор между точками получают вычитанием координат конца и начала.
  • Длину вектора находят по формуле расстояния.
  • Перпендикулярность проверяют равенством скалярного произведения нулю.
  • Параллельность проверяют пропорциональностью координат направляющих векторов.
  • Для плоскости удобно составить уравнение через три неколлинеарные точки или через нормаль.
T
Векторный критерий перпендикулярности

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: \(\vec a\cdot\vec b=0\).

При решении геометрическим способом полезно помнить свойства проекции отрезка: длина проекции на плоскость равна длине отрезка, умноженной на косинус угла между отрезком и плоскостью. Для параллельных плоскостей расстояние измеряют по общей нормали; см. также параллельные плоскости.

5. Разобранный пример

№
Расстояние от точки до плоскости

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) длины рёбер \(AB=3\), \(AD=4\), \(AA_1=12\). Найдём расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(BDC_1\).

1
Выберем координаты вдоль рёбер параллелепипеда: \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(D(0,4,0)\), \(C_1(3,4,12)\).
\(\displaystyle A(0,0,0),\quad B(3,0,0),\quad D(0,4,0),\quad C_1(3,4,12)\)
2
Найдём два направляющих вектора плоскости \(BDC_1\).
\(\displaystyle \overrightarrow{BD}=(-3,4,0),\quad \overrightarrow{BC_1}=(0,4,12)\)
3
Составим нормаль к плоскости как векторное произведение. Подойдёт вектор \(\vec n=(16,12,-12)\), который перпендикулярен обоим направляющим векторам.
\(\displaystyle \vec n\cdot\overrightarrow{BD}=16(-3)+12\cdot4=0;\quad \vec n\cdot\overrightarrow{BC_1}=12\cdot4-12\cdot12\ne0\)

В последнем вычислении выбранный вектор не является нормалью: это полезная проверка и повод исправить промежуточный результат. Найдём нормаль аккуратно.

1
Вычислим векторное произведение \(\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BC_1}\).
\(\displaystyle \vec n=(48,36,-12)\sim(4,3,-1)\)
2
Уравнение плоскости через точку \(B(3,0,0)\) и нормаль \((4,3,-1)\):
\(\displaystyle 4(x-3)+3y-z=0,\quad 4x+3y-z-12=0\)
3
Подставим координаты точки \(A(0,0,0)\) в формулу расстояния до плоскости.
\(\displaystyle d=\frac{|4\cdot0+3\cdot0-0-12|}{\sqrt{4^2+3^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt{26}}\)

Ответ: \(\boxed{\frac{12}{\sqrt{26}}}\), или после рационализации знаменателя \(\boxed{\frac{6\sqrt{26}}{13}}\). Проверка показывает, что расстояние меньше высоты \(AA_1=12\), что согласуется с геометрическим смыслом.

!
Частые ошибки

Путают расстояние и наклонную: минимальна именно перпендикулярная длина. Неверно строят сечение: отрезки соединяют только точки, принадлежащие одной грани. Забывают модуль в формуле расстояния до плоскости. Используют угол между прямой и нормалью вместо угла между прямой и плоскостью: эти углы дополняют друг друга до \(90^\circ\). Не проверяют ответ: длина не может быть отрицательной, а площадь не должна иметь единицы длины.

6. Итоговая проверка решения

  • Все введённые точки действительно принадлежат указанным рёбрам, прямым или плоскостям.
  • Для перпендикулярности использованы правильные объекты: прямые, векторы или нормали.
  • В формуле площади указаны длины, относящиеся к одной плоской фигуре.
  • Ответ имеет правильную размерность: длина, квадрат длины или безразмерный косинус.
  • Приближённое значение ответа согласуется с рисунком и исходными размерами.
Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · расстояния
Как находят расстояние между двумя точками в пространственных координатах?
Главное за минуту

Главное

  • Начинайте с рисунка, типа взаимного расположения объектов и точной формулировки искомой величины.
  • Расстояния строят по перпендикулярам, углы находят через пересекающиеся прямые, векторы или нормали.
  • Сечение строят по точкам пересечения с рёбрами, затем сводят задачу к площади плоской фигуры.
  • Координатный метод требует удобного выбора начала координат и обязательной проверки формул.
  • В конце проверяйте знак, размерность, диапазон углов и соответствие результата геометрическому смыслу.