Задания № 10, 11 · ЕГЭ

Параллельные плоскости

Определение, признаки и свойства параллельных плоскостей
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются в пространстве. Их можно распознать по двум пересекающимся прямым одной плоскости, параллельным двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Параллельные плоскости
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Обозначение: \(\alpha \parallel \beta\). Если плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Иными словами, достаточно найти в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), а в плоскости \(\beta\) — две пересекающиеся прямые \(a_1\) и \(b_1\), такие что \(a \parallel a_1\) и \(b \parallel b_1\). Тогда \(\alpha \parallel \beta\).

T
Основные свойства

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. 2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны. 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 4. Расстояние между параллельными плоскостями во всех точках одинаково.

Обозначение и расстояние

\[d(\alpha,\beta)=\text{const}\]1

Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, проведённого от любой точки одной плоскости к другой. Перпендикуляр к плоскости связан с понятием параллельности прямой и плоскости и часто используется в задачах на многогранники.

№
Пример

В плоскости \(\alpha\) пересекаются прямые \(a\) и \(b\). В плоскости \(\beta\) пересекаются прямые \(a_1\) и \(b_1\). Известно, что \(a \parallel a_1\) и \(b \parallel b_1\). По признаку параллельности плоскостей заключаем: \(\alpha \parallel \beta\).

!
Не путайте

Две плоскости не называют параллельными только потому, что в них есть по одной параллельной прямой. Для применения признака нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости. Также параллельность плоскостей отличается от параллельности прямой и плоскости: прямая может не пересекать плоскость, но сама плоскость и другая плоскость либо не пересекаются, либо пересекаются по прямой.

Проверь себя

Что достаточно доказать для применения признака параллельности плоскостей?

Главное за минуту

Главное

  • Параллельные плоскости не имеют общих точек: \(\alpha \parallel \beta\).
  • Признак: две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.
  • Расстояние между параллельными плоскостями постоянно; отрезки параллельных прямых между ними равны.