Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Такое положение обозначают \(a \parallel \alpha\) и рассматривают как один из видов взаимного расположения прямой и плоскости.
Признак параллельности
Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, достаточно найти в этой плоскости прямую, параллельную данной прямой. Если \(a \not\subset \alpha\) и существует прямая \(b \subset \alpha\) такая, что \(a \parallel b\), то \(a \parallel \alpha\).
Свойства
- Если прямая параллельна плоскости, то она не пересекает ни одну прямую, лежащую в этой плоскости, если эти прямые не являются параллельными.
- Через любую точку вне плоскости можно провести единственную прямую, параллельную данной плоскости.
- Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
- Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AB\) параллельно ребру \(DC\). Ребро \(DC\) лежит в плоскости \(DCC_1D_1\), а \(AB\) не лежит в этой плоскости. По признаку параллельности \(AB \parallel (DCC_1D_1)\).
Прямая, не имеющая общих точек с плоскостью, параллельна ей. Но если прямая лежит в плоскости, это не называют параллельностью: у них бесконечно много общих точек. Также не следует путать это понятие со скрещивающимися прямыми: скрещиваются две прямые, а не прямая и плоскость.
Что достаточно установить для доказательства \(a \parallel \alpha\)?
Главное
- \(a \parallel \alpha\), если \(a \cap \alpha = \varnothing\).
- Признак: если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и сама не лежит в этой плоскости, то она параллельна плоскости.
- Параллельность прямой и плоскости означает отсутствие общих точек, а не принадлежность прямой плоскости.