Точка, прямая и плоскость в пространстве
Стереометрия изучает фигуры в пространстве и их свойства. В этой теме вводятся основные понятия — точка, прямая и плоскость, — формулируются аксиомы стереометрии и разбирается, как могут располагаться друг относительно друга точки, прямые и плоскости.
Основные понятия стереометрии
В планиметрии рассматривают фигуры на одной плоскости: отрезки, углы, треугольники, окружности. В стереометрии изучают фигуры на плоскости и в пространстве: многогранники, цилиндры, конусы, шары, а также точки, прямые и плоскости, из которых построены эти фигуры.
Точка обозначает положение в пространстве и не имеет размеров. Прямая — бесконечная линия, проходящая через точки; её обозначают строчными латинскими буквами \(a\), \(b\) или двумя точками, например \(AB\). Плоскость — бесконечная ровная поверхность; её обозначают греческими буквами \(\alpha\), \(\beta\) или тремя точками, не лежащими на одной прямой: \((ABC)\).
Точка может принадлежать прямой или плоскости. Запись \(A\in a\) означает, что точка \(A\) лежит на прямой \(a\), а \(A\in\alpha\) — что точка лежит в плоскости \(\alpha\). Запись \(B\notin\alpha\) означает, что точка \(B\) не принадлежит плоскости.
Аксиомы стереометрии
Аксиомы принимают без доказательства. Они связывают пространственные объекты с уже известными свойствами фигур на плоскости.
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Из второй аксиомы следует: чтобы доказать принадлежность прямой плоскости, достаточно показать, что две точки этой прямой принадлежат плоскости. Из третьей аксиомы следует, что две различные плоскости не могут пересекаться только в одной точке или по двум разным прямым.
Через две различные точки проходит единственная прямая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость.
Точки и прямые в пространстве
Две точки всегда определяют единственную прямую. Три точки могут лежать на одной прямой или не лежать на одной прямой. В последнем случае они определяют единственную плоскость.
Две прямые в пространстве могут иметь четыре типа взаимного расположения: совпадать, пересекаться, быть параллельными или быть скрещивающимися. Подробные признаки и способы распознавания разобраны на странице взаимное расположение прямых в пространстве.
| Положение прямых | Общие точки | Лежат в одной плоскости? |
|---|---|---|
| Совпадающие | Бесконечно много | Да |
| Пересекающиеся | Одна | Да |
| Параллельные | Нет | Да |
| Скрещивающиеся | Нет | Нет |
Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не являются параллельными, то есть не лежат в одной плоскости. Например, у прямоугольного параллелепипеда ребро передней грани и ребро задней грани, не имеющее с ним общей вершины, могут быть скрещивающимися.
Прямая \(a\) имеет с плоскостью \(\alpha\) две общие точки. Что можно утверждать?
Прямая и плоскость
Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или прямая может лежать в плоскости. Если прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку, она пересекает плоскость. Если общих точек нет, прямая параллельна плоскости. Если все точки прямой принадлежат плоскости, прямая лежит в плоскости.
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Этот признак подробно используется в теме параллельность прямой и плоскости.
Если две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\) одной плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым \(a_1\) и \(b_1\) другой плоскости \(\beta\), то плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Это один из основных признаков из темы параллельные плоскости.
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AC\). Докажем, что прямая \(MN\) параллельна плоскости \((BCD)\).
Главная идея примера: сначала найти прямую в нужной плоскости, параллельную данной прямой, а затем применить признак. В задачах с параллелепипедом, призмой или пирамидой полезно сначала выписать, какие рёбра лежат в одной грани.
Плоскости и их взаимное расположение
Две плоскости могут совпадать, пересекаться по прямой или быть параллельными. Если плоскости имеют общую точку, то по аксиоме они пересекаются по прямой. Чтобы доказать, что плоскости совпадают, достаточно установить, что три неколлинеарные точки одной плоскости принадлежат другой.
Если две плоскости имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой, то эти плоскости совпадают: \(\alpha=\beta\).
Не называйте любые непересекающиеся прямые параллельными: в пространстве они могут быть скрещивающимися. Не утверждайте, что одна общая точка задаёт пересечение плоскостей: пересечение двух плоскостей — прямая. Для доказательства \(a\subset\alpha\) нужно указать две точки прямой \(a\) в плоскости \(\alpha\), а не одну.
- Проверьте, принадлежат ли две точки прямой одной плоскости.
- Для параллельности прямой и плоскости найдите параллельную ей прямую в этой плоскости.
- Для определения скрещивающихся прямых убедитесь, что они не лежат в одной плоскости.
- Записывайте обоснование каждого перехода: аксиома, признак или теорема.
Итоговая проверка
Проверьте понимание темы
Главное
- Точка, прямая и плоскость — основные понятия стереометрии.
- Три неколлинеарные точки определяют единственную плоскость; две точки определяют единственную прямую.
- Две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися.
- Прямая и плоскость пересекаются, параллельны или прямая лежит в плоскости.
- Для доказательств применяйте аксиомы и признаки, обязательно указывая, почему выполняется каждый шаг.