Задания № 10, 11 · ЕГЭ

Скрещивающиеся прямые

Определение, признаки и основные способы решения задач

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Скрещивающиеся прямые — это две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы распознать их и решать задачи, проверяют взаимное расположение прямых, а затем используют параллельный перенос, общий перпендикуляр или направляющие векторы.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не являются параллельными; иначе говоря, через них нельзя провести одну плоскость. В отличие от других вариантов взаимного расположения прямых, скрещивающиеся прямые не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости.

Как распознать скрещивающиеся прямые

Главный признак: если одна из прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются. Например, в прямоугольном параллелепипеде ребро \(AB\) и ребро \(CC_1\) не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому они скрещиваются.

Полезное правило

Чтобы доказать, что прямые скрещиваются, достаточно показать: 1) они не пересекаются; 2) они не параллельны. Часто это делают через плоскость: одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость вне первой прямой.

Угол и расстояние

Угол между скрещивающимися прямыми определяют как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Если направляющие векторы прямых равны \(\vec a\) и \(\vec b\), то берут меньший угол и используют формулу скалярного произведения:

\[\cos\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}\]

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Практические приёмы подробно разобраны на страницах угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между скрещивающимися прямыми.

№

Короткий пример

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямые \(AB\) и \(CC_1\) скрещиваются: первая лежит в основании, а вторая пересекает плоскость основания в точке \(C\), не принадлежащей \(AB\). Их общий перпендикуляр можно найти среди рёбер куба: отрезок \(BC\) перпендикулярен и \(AB\), и \(CC_1\).

Не путайте

Непересекающиеся прямые не всегда скрещиваются: они могут быть параллельными. Сначала выясните, лежат ли прямые в одной плоскости и имеют ли общее направление.

Проверьте себя

Прямые не пересекаются и имеют общее направление. Как они расположены?

Главное за минуту

Главное

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости.
Угол находят через параллельные пересекающиеся прямые или направляющие векторы.
Расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра.