Задания № 12, 13 · ЕГЭ

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение, формула и способ вычисления угла между скрещивающимися прямыми

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, проведёнными параллельно данным прямым через одну общую точку. Его находят по направляющим векторам этих прямых и обычно берут меньший угол, то есть угол от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

Пусть \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые, то есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными. Через произвольную точку \(O\) проводят прямые \(a_1\) и \(b_1\), соответственно параллельные \(a\) и \(b\). Угол между пересекающимися прямыми \(a_1\) и \(b_1\) называют углом между скрещивающимися прямыми \(a\) и \(b\). По определению выбирают меньший из двух углов.

Формула

Если \(\vec u=(u_1,u_2,u_3)\) и \(\vec v=(v_1,v_2,v_3)\) — направляющие векторы скрещивающихся прямых, то угол \(\varphi\) между ними вычисляют по формуле:

\[\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|},\qquad 0^\circ\leq\varphi\leq90^\circ\]

Здесь \(\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\), а \(|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Модуль в числителе позволяет получить именно меньший угол независимо от направления векторов.

№

Пример

Пусть направляющие векторы имеют вид \(\vec u=(1,0,0)\) и \(\vec v=(0,1,1)\). Тогда \(\vec u\cdot\vec v=0\), поэтому \(\cos\varphi=0\) и \(\varphi=90^\circ\). Значит, данные скрещивающиеся прямые перпендикулярны: угол между ними прямой.

Проверь себя

Что нужно сделать в первую очередь, если известны направляющие векторы двух скрещивающихся прямых?

Не путайте

Угол между скрещивающимися прямыми не измеряют непосредственно между их разнесёнными в пространстве отрезками: они не имеют общей вершины. Сначала используют параллельный перенос одной или обеих прямых. Не следует также путать угол с расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Главное за минуту

Главное

Угол между скрещивающимися прямыми определяют как меньший угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Для вычисления используют направляющие векторы: \(\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}\).
Угол между прямыми лежит от \(0^\circ\) до \(90^\circ\); при нулевом скалярном произведении прямые перпендикулярны.