ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 12, 13 · ЕГЭ

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение, формулы и алгоритмы шешімдер тапсырма на расстояние между скрещивающимися прямыми
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. В задачах важно не искать «самый короткий отрезок на рисунке», а обосновать, какие точки принадлежат данным прямым и почему построенный отрезок перпендикулярен обеим.

Определение и негізгі факт

Сначала вспомним, что скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны. Для них нельзя измерить расстояние как длину отрезка между точками пересечения: такой точки нет.

D
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называют длину отрезка, который соединяет точку одной прямой с точкой другой прямой и перпендикулярен обеим прямым. Такой отрезок называется общим перпендикуляром.

T
Теорема о единственности

Для двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. Его длина равна расстоянию между этими прямыми.

В отличие от общего перпендикуляра, отрезок, соединяющий любые две точки скрещивающихся прямых, обычно не является кратчайшим. Поэтому в решении нужно отдельно доказать перпендикулярность к каждой из двух прямых.

\[d(l_1,l_2)=AB,\qquad A\in l_1,\ B\in l_2,\ AB\perp l_1,\ AB\perp l_2.\]

Три способа найти расстояние

В пространственных задачах применяют несколько равносильных методов. Выбор зависит от того, какие элементы уже есть в условии: прямой угол, параллельные плоскости, координаты или объём.

  1. Построить общий перпендикуляр. Найдите точки \(A\) и \(B\) на данных прямых, соедините их и докажите, что \(AB\) перпендикулярен каждой прямой. Затем вычислите \(AB\).
  2. Свести тапсырманы к расстоянию между параллельными плоскостями. Если первая прямая лежит в плоскости \(\alpha\), вторая — в параллельной ей плоскости \(\beta\), и обе прямые перпендикулярны одному направлению, то расстояние между прямыми может совпадать с расстоянием между плоскостями.
  3. Использовать плоскость, перпендикулярную одной из прямых. Спроектируйте вторую прямую на такую плоскость. Тогда расстояние между исходными прямыми превращается в расстояние от точки до прямой на плоскости.
  4. Применить координаты или векторы. Задайте направляющие векторы прямых и найдите длину общего перпендикуляра по формуле смешанного произведения.
T
Признак через параллельные плоскости

Если скрещивающиеся прямые \(l_1\) и \(l_2\) соответственно лежат в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), а общий перпендикуляр к плоскостям перпендикулярен обеим прямым, то расстояние между прямыми равно расстоянию между плоскостями: \(d(l_1,l_2)=d(\alpha,\beta)\).

На практике часто используют перпендикулярность прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Также полезно распознавать параллельные плоскости и расстояние между ними.

Проверь себя

Что обязательно нужно доказать для отрезка \(AB\), претендующего на роль общего перпендикуляра?

Общий перпендикуляр в многограннике

В кубе, прямоугольном параллелепипеде и призме общий перпендикуляр часто совпадает с ребром или диагональю грани. Например, в прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямые \(AB\) и \(CC_1\) скрещиваются. Отрезок \(BC\) соединяет точку \(B\) прямой \(AB\) с точкой \(C\) прямой \(CC_1\), причём \(BC\perp AB\) и \(BC\perp CC_1\), поскольку \(BC\) — ребро основания, а \(CC_1\) перпендикулярно основанию. Значит, \(BC\) — общий перпендикуляр, а расстояние равно длине \(BC\).

Если нужный отрезок не является ребром, его можно получить как высоту прямоугольного треугольника. В таком случае применяются теорема Пифагора, свойства параллельности прямой и плоскости и свойства диагоналей многогранника.

Как доказывать перпендикулярность

Для доказательства \(AB\perp l\) ищите прямоугольный треугольник или используйте теорему: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Не объявляйте отрезок общим перпендикуляром только по виду чертежа.

Координатный и векторный метод

Пусть прямые заданы точками \(A\) и \(B\) и направляющими векторами \(\vec u\) и \(\vec v\) соответственно. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) соединяет выбранные точки на прямых. Направление общего перпендикуляра совпадает с вектором \(\vec u\times\vec v\) — векторным произведением направляющих векторов.

\[d(l_1,l_2)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times\vec v)\right|}{\left|\vec u\times\vec v\right|}.\]

Формула работает для скрещивающихся прямых. Числитель — модуль смешанного произведения, то есть объём параллелепипеда, построенного на векторах \(\overrightarrow{AB}\), \(\vec u\), \(\vec v\). Знаменатель нормирует этот объём на площадь основания \(|\vec u\times\vec v|\).

\[\vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).\]

Если направляющие векторы перпендикулярны, вычисления упрощаются: \(\vec u\cdot\vec v=0\), но в общей формуле всё равно используется векторное произведение. В школьных задачах без координат обычно быстрее построить общий перпендикуляр.

Разобранный пример

№
Пример

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны \(AB=6\), \(BC=4\), \(AA_1=3\). Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(CC_1\).

1
Выбираем точки на данных прямых: \(B\in AB\), \(C\in CC_1\). Соединяющий их отрезок — \(BC\).
\(\displaystyle B\in AB,\qquad C\in CC_1.\)
2
Ребро \(BC\) перпендикулярно \(AB\), так как основание параллелепипеда — прямоугольник.
\(\displaystyle BC\perp AB.\)
3
Ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а \(BC\) лежит в этой плоскости.
\(\displaystyle CC_1\perp (ABCD)\ \Longrightarrow\ CC_1\perp BC.\)
4
Следовательно, \(BC\) — общий перпендикуляр данных прямых.
\(\displaystyle d(AB,CC_1)=BC.\)
5
Длина ребра \(BC\) дана условием.
\(\displaystyle \boxed{d(AB,CC_1)=4}.\)

Размеры \(AB=6\) и \(AA_1=3\) в этом примере не понадобились. Это нормально: расстояние определяется конкретным положением выбранных прямых, а не всеми размерами тела.

!
Частые ошибки

1. Берут длину произвольного отрезка между прямыми вместо общего перпендикуляра. 2. Доказывают перпендикулярность только одной прямой. 3. Путают расстояние между прямыми с расстоянием между точками. 4. Используют диагональ многогранника без проверки её направления. 5. В координатной формуле забывают модуль или деление на \(|\vec u\times\vec v|\).

Алгоритм шешімдер тапсырма

  • Определите, действительно ли прямые скрещиваются; используйте знания о взаимном расположении прямых в пространстве.
  • Найдите возможные точки общего перпендикуляра на каждой прямой.
  • Проверьте два условия перпендикулярности: к первой и ко второй прямой.
  • Выразите длину отрезка через данные величины; при необходимости примените теорему Пифагора.
  • Если геометрическое построение неудобно, перейдите к координатам и формуле смешанного произведения.
Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · определение
Что является расстоянием между скрещивающимися прямыми?
Главное за минуту

Главное

  • Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.
  • Общий перпендикуляр соединяет точки данных прямых и перпендикулярен каждой из них.
  • В многогранниках расстояние часто совпадает с длиной ребра или высотой прямоугольного треугольника.
  • Для координатных прямых используется формула \(d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}\).
  • В решении обязательно обосновывайте принадлежность точек прямым и обе перпендикулярности.