Задание № 14 · ОГЭ

Логарифм числа

Определение, основание и аргумент логарифма

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Логарифм числа показывает, в какую степень нужно возвести заданное основание, чтобы получить это число. В записи логарифма важно различать основание и аргумент.

Логарифм числаСлово происходит от греческих слов, означающих «число» и «отношение».

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\): \(\log_a b=c\). Здесь \(a\) — основание логарифма, \(b\) — аргумент логарифма, а \(c\) — значение логарифма. Для логарифма необходимо, чтобы \(a>0\), \(a\ne1\) и \(b>0\).

Основная формула

\[\log_a b=c \Longleftrightarrow a^c=b,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0\]

Логарифм и степень — взаимно обратные действия. Поэтому определение позволяет быстро вычислять простейшие свойства логарифмов и преобразовывать логарифмические функции. Например, если \(2^5=32\), то \(\log_2 32=5\).

№

Пример

Вычислим \(\log_3 81\). Нужно найти показатель степени \(x\), для которого \(3^x=81\). Так как \(3^4=81\), получаем \(\log_3 81=4\). Основание — \(3\), аргумент — \(81\), значение логарифма — \(4\).

Не путайте условия

Основание логарифма не может быть равно \(1\), потому что \(1^x=1\) при любом \(x\), и показатель нельзя определить однозначно. Основание также должно быть положительным. Аргумент обязан быть только положительным: выражения \(\log_a 0\) и \(\log_a(-b)\) в действительных числах не определены. Проверять эти условия особенно важно при работе с областью допустимых значений логарифмического выражения.

Частные случаи имеют специальные названия: логарифм по основанию \(10\) называют десятичным логарифмом, а логарифм по основанию \(e\) — натуральным логарифмом.

Проверьте себя

Чему равно \(\log_5 125\)?

Главное за минуту

Главное

\(\log_a b=c\) означает равенство \(a^c=b\).
Основание: \(a>0\) и \(a\ne1\); аргумент: \(b>0\).
Основание показывает, какую степень рассматривают, а аргумент — число, которое получают.