Иррациональные уравнения
Иррациональное уравнение содержит неизвестную под знаком корня или в другой выраженной через корень степени. Основная идея решения — найти область допустимых значений, преобразовать уравнение к рациональному или квадратному и обязательно проверить найденные значения в исходном уравнении.
Что такое иррациональное уравнение
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная входит под знак корня или является показателем дробной степени. Например: \(\sqrt{x+3}=5\), \(\sqrt{2x-1}=x-2\), \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3\). Для решения часто используются свойства квадратного корня и коренных уравнений, а после преобразований — квадратные уравнения.
Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все выражения исходного уравнения имеют смысл. Для квадратного корня из выражения \(A(x)\) необходимо условие \(A(x)\ge 0\).
ОДЗ следует находить до преобразований. Если в уравнении несколько корней, условие записывают для каждого подкоренного выражения и пересекают полученные множества. Например, для \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\) ОДЗ имеет вид \(x\ge1\) и \(x\le5\), то есть \(x\in[1;5]\).
Основные методы решения
Самый распространённый приём — изолировать один корень, а затем возвести обе части уравнения в квадрат. Возведение в квадрат является равносильным только при дополнительных условиях: обе части должны быть неотрицательны. В общем случае эта операция может дать лишние значения, поэтому проверка обязательна.
Уравнение \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) равносильно системе \(\begin{cases}A(x)=B^2(x),\\B(x)\ge0.\end{cases}\). Условие \(B(x)\ge0\) нельзя пропускать: квадратный корень не бывает отрицательным.
- Выписать ОДЗ исходного уравнения.
- Перенести слагаемые так, чтобы один корень оказался отдельно.
- Проверить неотрицательность правой части, если используется равносильная система.
- Возвести обе части в квадрат и упростить полученное уравнение.
- Решить полученное рациональное или квадратное уравнение.
- Проверить кандидатов в исходном уравнении и записать ответ.
Если корней несколько, удобно переносить один из них в другую часть, затем возводить в квадрат. Иногда после первого возведения в квадрат снова появляется корень — тогда процедуру повторяют. При этом каждый раз нужно контролировать ОДЗ и не забывать о проверке.
Если после преобразования получилась разность квадратов, используйте формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Для уравнений, содержащих два корня, после первого возведения в квадрат часто возникает выражение вида \(2\sqrt{A(x)B(x)}\).
Какое дополнительное условие нужно учесть при переходе от \(\sqrt{x+2}=x-1\) к уравнению после возведения в квадрат?
Разобранный пример
Решим уравнение \(\sqrt{x+6}=x\). Оно подходит для экзаменационного уровня: после преобразования возникает квадратное уравнение, но один из его корней окажется посторонним.
Показать проверку Проверка
Подставим \(x=3\) в исходное уравнение: \(\sqrt{3+6}=\sqrt9=3\). Равенство верно, поэтому \(x=3\) — корень.
Значение \(x=-2\) в исходном уравнении даёт \(\sqrt4=2\) слева и \(-2\) справа. Равенство неверно. Это посторонний корень, появившийся после возведения в квадрат.
Посторонний корень — значение, которое удовлетворяет преобразованному уравнению, но не удовлетворяет исходному. Он может появиться после возведения обеих частей в квадрат, умножения на выражение, которое может быть равно нулю, или других неравносильных преобразований.
Подробнее о таком результате можно прочитать на странице «Посторонний корень». Главное правило: корнем исходного уравнения считается только значение, прошедшее проверку.
Уравнения с двумя корнями
Рассмотрим типичный случай: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3\). Сначала выписываем ОДЗ: \(x+1\ge0\) и \(x-2\ge0\), значит \(x\ge2\). Переносить один корень и возводить в квадрат нужно аккуратно, сохраняя ограничения.
Ответ: \(x=3\). Если уравнение имеет симметричный вид с двумя корнями, иногда полезны замены или формулы, связанные с обратными квадратными корнями. Однако для школьных задач чаще всего достаточно ОДЗ, последовательного возведения в квадрат и проверки.
Когда график помогает
Графический метод не всегда даёт точное значение корня, но помогает понять число решений. Нужно построить графики левой и правой частей и найти их точки пересечения. Например, для \(\sqrt{x+1}=x-1\) левая часть неотрицательна, поэтому сразу известно \(x\ge1\). График также показывает, что пересечение может быть единственным.
1. Возводить в квадрат, не выписав ОДЗ. 2. Забывать, что \(\sqrt{A}\ge0\), и не проверять знак другой части. 3. Подставлять найденные значения только в преобразованное, а не в исходное уравнение. 4. При двух корнях неверно раскрывать квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). 5. Записывать в ответ все корни полученного квадратного уравнения, не удалив посторонние.
Квадратирование сохраняет равенство, если обе части неотрицательны. Без этого условия оно сохраняет только необходимое условие и может добавить посторонние корни.
Алгоритм для экзаменационной задачи
| Шаг | Что сделать | Контрольный вопрос |
|---|---|---|
| 1 | Записать ОДЗ | Все корни определены? |
| 2 | Изолировать корень | Правая часть неотрицательна? |
| 3 | Возвести в квадрат | Преобразование равносильно или нужны кандидаты? |
| 4 | Решить полученное уравнение | Не потеряны ли допустимые значения? |
| 5 | Проверить корни | Верно ли исходное равенство? |
| 6 | Записать ответ | Указаны только проверенные корни? |
Если встречается произведение или дробь с корнем, сначала уточните область определения. При необходимости используйте методы решения неполного квадратного уравнения, дискриминант или теорему Виета. Другие типы уравнений — логарифмические, показательные и тригонометрические — требуют своих ограничений и преобразований.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Сначала находите ОДЗ: каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
- При переходе от \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) к квадратам учитывайте условие \(B(x)\ge0\).
- После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни.
- Проверяйте каждый кандидат в исходном уравнении, а не только в преобразованном.
- Для уравнений с двумя корнями применяйте последовательное изолирование и квадратирование, контролируя знак правой части.