Вписанный четырехугольник
Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. На странице разберем признаки такого четырехугольника, связь противоположных углов и основные приемы решения задач; перед изучением полезно повторить вписанный угол и свойства углов четырехугольника.
Определение и обозначения
Пусть точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности, а стороны четырехугольника соединяют соседние точки: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Тогда четырехугольник \(ABCD\) называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около четырехугольника.
Четырехугольник является вписанным, если существует окружность, проходящая через все его вершины. Не следует путать его с описанным четырехугольником, у которого стороны касаются окружности.
Обычно вершины вписанного четырехугольника перечисляют по порядку обхода окружности. Диагонали \(AC\) и \(BD\) делят его на четыре треугольника и позволяют применять свойства описанной окружности треугольника.
Главное свойство противоположных углов
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180^\circ\): углы \(A\) и \(C\) дополняют друг друга до развернутого угла, так же как углы \(B\) и \(D\).
Почему это верно? Угол \(A\) опирается на дугу \(BCD\), а угол \(C\) — на дугу \(DAB\). Эти две дуги вместе образуют всю окружность, то есть \(360^\circ\). По свойству вписанного угла каждый угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому сумма углов равна половине \(360^\circ\), то есть \(180^\circ\).
В циклическом, то есть вписанном, четырехугольнике противоположные углы supplementary: их сумма равна \(180^\circ\). Соседние углы обычно такой постоянной суммы не имеют.
Если один угол известен, противоположный находится вычитанием из \(180^\circ\). Например, если \(\angle A=72^\circ\), то \(\angle C=108^\circ\).
Признак вписанного четырехугольника
Если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(180^\circ\), то этот четырехугольник можно вписать в окружность.
Это условие является не только необходимым, но и достаточным. Поэтому в задаче достаточно найти сумму одной пары противоположных углов. Если она равна \(180^\circ\), все четыре вершины лежат на одной окружности.
Есть и равносильная форма признака: внешний угол четырехугольника равен внутреннему противоположному углу. Например, внешний угол при вершине \(D\) равен углу \(B\), если \(ABCD\) цикличен. Такой прием удобен, когда в условии дан внешний угол или продолжение стороны.
1. Найдите одну пару противоположных углов. 2. Сложите их. 3. Если сумма \(180^\circ\), применяйте свойства вписанного четырехугольника. Если сумма не равна \(180^\circ\), данный четырехугольник не является циклическим.
У четырехугольника \(ABCD\) углы \(A=65^\circ\) и \(C=115^\circ\). Можно ли утверждать, что он вписан в окружность?
Связь с дугами, хордами и диагоналями
Каждый угол вписанного четырехугольника является вписанным углом. Поэтому для вычисления угла можно использовать дугу, на которую он опирается: угол равен половине соответствующей дуги. Свойства хорд помогают сравнивать отрезки и углы, если в условии даны пересечения или равные хорды; см. свойства хорд окружности.
Если известны дуги, сначала определите, на какую дугу опирается каждый угол, затем разделите ее градусную меру на \(2\). Если известны углы, можно восстановить дуги умножением на \(2\).
| Дано | Что использовать | Результат |
|---|---|---|
| Один противоположный угол | Сумма противоположных углов | Второй угол равен \(180^\circ-\alpha\) |
| Две противоположные дуги | Вписанный угол равен половине дуги | Найти соответствующие углы |
| Сумма противоположных углов \(180^\circ\) | Признак цикличности | Четырехугольник вписан |
| Внешний угол и противоположный внутренний | Равенство внешнего и внутреннего угла | Проверка вписанности или поиск угла |
Разобранный пример
В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) угол \(A\) равен \(68^\circ\), угол \(B\) равен \(104^\circ\), а диагонали пересекаются в точке \(O\). Известно, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на одной окружности. Найдите углы \(C\) и \(D\).
Ответ: \(\angle C=112^\circ\), \(\angle D=76^\circ\). Точка пересечения диагоналей в этой задаче не нужна: лишние данные встречаются в экзаменационных задачах, поэтому важно выделять именно свойство, связанное с вопросом.
Типовые приемы решения задач
- Если дан один угол, найдите противоположный через \(180^\circ\).
- Если даны три угла, четвертый найдите из суммы углов четырехугольника \(360^\circ\) или через противоположный угол.
- Если нужно доказать вписанность, докажите, что сумма пары противоположных углов равна \(180^\circ\).
- Если даны дуги, применяйте правило: вписанный угол равен половине дуги.
- Если в условии есть касательная, используйте свойства касательных к окружности или угла между касательной и хордой.
1. Путают противоположные и соседние углы: пары — \(A,C\) и \(B,D\), а не \(A,B\). 2. Забывают, что теорема о сумме \(180^\circ\) относится к вписанному четырехугольнику. 3. При работе с дугой берут не ту дугу: угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. 4. Делят градусную меру дуги на \(2\) не для того угла. 5. Считают, что любой четырехугольник можно вписать в окружность без проверки условия.
В задачах на площадь может понадобиться площадь сектора, а в задачах на расстояния по окружности — длина дуги. Если требуется найти координаты точек или центр окружности, пригодится уравнение окружности.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Вписанный четырехугольник имеет все вершины на одной окружности.
- Суммы противоположных углов равны \(180^\circ\): \(\angle A+\angle C=180^\circ\) и \(\angle B+\angle D=180^\circ\).
- Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), он вписан в окружность.
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- В задачах сначала определяйте нужную пару противоположных углов и проверяйте, какая дуга соответствует каждому углу.