Анализ данных и таблиц
Таблица помогает упорядочить данные и быстро находить нужные значения. В этой теме важно не только прочитать строку или столбец, но и правильно посчитать частоты, суммы, доли и проверить результат другим способом.
Для чего применяются таблицы
Таблицы применяются, чтобы представить большое количество связанных данных в компактном виде. Заголовки строк и столбцов объясняют, что означает каждое число: величину, единицу измерения, год, категорию или вариант ответа. Перед вычислениями нужно определить, какие данные находятся в таблице и что требуется найти.
Таблица данных — это упорядоченная запись сведений по строкам и столбцам. Каждая ячейка находится на пересечении строки и столбца и имеет значение, определяемое их заголовками.
- Прочитайте название таблицы и условие задачи.
- Определите, что обозначают строки, столбцы и единицы измерения.
- Найдите нужную строку или столбец, не смешивая разные показатели.
- Проверьте, требуется ли сумма, разность, сравнение, доля или среднее значение.
- Запишите вычисление и укажите единицу измерения или ответ в процентах.
Если в таблице приведены значения наблюдений, их можно изучать как статистический ряд. Для повторяющихся значений полезно составить таблицу частот, а затем проверить сумму по абсолютным частотам или по относительным частотам.
Частоты и вычислительная таблица
Пусть наблюдаемые значения обозначены \(x_1,x_2,\ldots,x_n\). Если значение \(x\) встретилось \(k\) раз, число \(k\) называют его абсолютной частотой. Отношение числа появлений к общему числу наблюдений называют относительной частотой.
Абсолютная частота значения — количество его появлений. Относительная частота — доля наблюдений с этим значением: \(\frac{k}{n}\). В процентах эта доля равна \(\frac{k}{n}\cdot100\%\).
Для удобства создают вычислительную таблицу: в ней рядом с исходными данными записывают промежуточные результаты. Например, при подсчёте стоимости можно добавить столбец «цена \(\cdot\) количество», а при анализе оценок — столбец «значение \(\cdot\) частота».
| Значение \(x_i\) | Частота \(k_i\) | Произведение \(x_i k_i\) | Относительная частота |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 | \(3/n\) |
| 4 | 5 | 20 | \(5/n\) |
| 6 | 2 | 12 | \(2/n\) |
| Итого | 10 | 38 | 1 |
Такая таблица уменьшает число повторных действий и делает проверку прозрачной. Сначала складывают частоты, затем — нужные произведения или доли.
Если данные сгруппированы по значениям, сумму всех наблюдений можно найти двумя равными способами: сложить исходные данные или умножить каждое различное значение на его частоту и сложить произведения.
Это и есть подсчёт двумя способами. Он особенно полезен для проверки таблицы: если результаты не совпали, значит, пропущено значение, неверно посчитана частота или допущена арифметическая ошибка.
В таблице значение 7 встретилось 4 раза, всего наблюдений 20. Какова его относительная частота?
Разобранный пример: чтение и проверка таблицы
В таблице указано число книг, прочитанных учениками за месяц. Значения \(0,1,2,3,4\) встретились соответственно \(2,5,7,4,2\) раза. Найдём общее число учеников, среднее число книг и проверим вычисления двумя способами.
| Число книг \(x_i\) | Частота \(k_i\) | \(x_i k_i\) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 |
| 1 | 5 | 5 |
| 2 | 7 | 14 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 2 | 8 |
| Итого | 20 | 39 |
Всего \(20\) учеников, сумма числа прочитанных книг равна \(39\), среднее число книг — \(1{,}95\). Наиболее часто встречается значение \(2\), его частота равна \(7\).
Среднее арифметическое в таком случае считается по формуле для выборки с частотами. Подробнее этот приём связан со страницей среднее арифметическое выборки. Если требуется определить самое частое значение, ищут максимум в столбце частот — это мода, а не среднее.
Алгоритмы для экзаменационных задач
В заданиях на анализ таблиц сначала переводите текст в ясную математическую операцию. Например, «на сколько больше» означает разность, «во сколько раз» — отношение, «какую долю составляет» — частное, «общее количество» — сумму.
- Для суммы сложите значения одного показателя, не складывая случайно проценты или годы.
- Для разности вычтите меньшее значение из большего, если вопрос спрашивает, на сколько больше.
- Для процента разделите часть на целое и умножьте на \(100\%\).
- Для среднего сложите все наблюдения и разделите на их количество.
- Для накопленного итога последовательно складывайте частоты; это связано с накопленной частотой.
- Для вероятностной таблицы убедитесь, что все исходы учтены; общие идеи разбираются на странице модели случайных экспериментов.
Если таблица содержит два признака, например возраст и число посещений, сначала выберите нужную строку или столбец, а затем сравнивайте числа внутри одной шкалы. Нельзя сравнивать абсолютные значения, если объёмы групп различны: иногда правильнее сравнить относительные частоты.
Среднее арифметическое набора чисел не может быть меньше минимального и больше максимального значения. Относительная частота лежит между \(0\) и \(1\), а сумма всех относительных частот равна \(1\).
Типичные ошибки и самопроверка
1. Путают строку и столбец, особенно если заголовки расположены в несколько уровней. 2. Принимают абсолютную частоту за процент. 3. Делят на неправильное общее число. 4. Складывают округлённые значения и получают небольшое расхождение. 5. Называют модой среднее значение. 6. При подсчёте частот забывают один из вариантов. 7. Для вопроса «во сколько раз» находят разность вместо отношения.
Оцените порядок результата: доля не может быть больше \(1\) или \(100\%\), количество наблюдений должно быть целым, а среднее — находиться внутри диапазона исходных значений. Для сложных вычислений используйте таблицу с промежуточным столбцом и перепроверьте сумму вторым способом.
Итоговая проверка
Главное
- Таблицу читают по заголовкам строк и столбцов, учитывая единицы измерения.
- Абсолютная частота — число появлений, относительная частота — доля от общего числа.
- Вычислительная таблица хранит промежуточные столбцы и уменьшает риск ошибки.
- Сумму сгруппированных данных проверяют двумя способами: по исходным значениям и по формуле \(\sum x_i k_i\).
- Ответ проверяют по диапазону, единицам измерения, сумме частот и здравому смыслу.