Модели случайных экспериментов
Модель случайного эксперимента описывает, какие исходы возможны, каковы их вероятности и как связаны между собой события. Эта тема объединяет элементы теории вероятностей, необходимые для заданий ege-5, ege-6, ege-8 и ege-15.
Случайный эксперимент и его модель
Случайный эксперимент — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя множество возможных результатов задано. Например, бросание кубика, извлечение шара из коробки или выбор ученика из класса. Каждый возможный результат называют исходом эксперимента, а множество всех исходов — пространством элементарных исходов \(\Omega\).
Событие — набор исходов, благоприятных некоторому утверждению. Событие \(A\) произошло, если полученный исход принадлежит \(A\). Невозможное событие обозначают \(\varnothing\), достоверное — \(\Omega\). Вероятность события \(A\) обозначают \(P(A)\) и всегда выполняется \(0\le P(A)\le1\).
При построении модели важно не смешивать разные уровни описания. При одном броске кубика исходами могут быть числа \(1,2,3,4,5,6\), а событие «выпало чётное число» состоит из исходов \(2,4,6\). Если нас интересует только чётность, можно использовать более грубую модель с исходами «чётное» и «нечётное», но их вероятности уже не обязаны быть равными в другой ситуации.
Равновероятные исходы
Если все элементарные исходы имеют одинаковую вероятность, модель называют классической. Тогда вероятность события находится сравнением числа благоприятных исходов с числом всех исходов. Перед применением формулы нужно убедиться, что исходы действительно равновероятны.
Если эксперимент имеет \(n\) равновероятных исходов, а событию \(A\) благоприятны \(m\) из них, то вероятность события равна отношению \(m\) к \(n\).
Полезны операции над событиями. Событие \(\overline A\) означает, что \(A\) не произошло; \(A\cup B\) — произошло хотя бы одно из событий; \(A\cap B\) — произошли оба события. Для противоположного события действует правило дополнения.
Если события \(A\) и \(B\) несовместны, они не могут произойти одновременно, поэтому вероятность их объединения равна сумме вероятностей.
Сначала выпишите все равновероятные исходы или составьте таблицу вариантов. Затем отметьте благоприятные исходы. Если считать варианты «первый шар» и «второй шар» различными, это должно быть одинаково учтено и в общем, и в благоприятном числе.
Бросают правильный кубик. Какова вероятность события «выпало число, большее 4»?
Зависимые и независимые события
События могут влиять друг на друга. Например, при извлечении двух шаров без возвращения состав оставшихся шаров после первого извлечения меняется. Поэтому вероятность второго результата зависит от первого. Такие события называют зависимыми.
События \(A\) и \(B\) независимы, если наступление одного не изменяет вероятность другого: \(P(B\mid A)=P(B)\) и, аналогично, \(P(A\mid B)=P(A)\) при ненулевых знаменателях.
Удобный признак независимости выражается через вероятность совместного наступления. Если событие \(A\) произошло, а затем событие \(B\), используется умножение вероятностей. При независимости множители не меняются после первого испытания.
Для любых событий \(A\) и \(B\) вероятность их совместного наступления равна \(P(A)\cdot P(B\mid A)\). Если события независимы, формула упрощается до \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
При выборе предметов с возвращением вероятность состава обычно не меняется, поэтому испытания часто независимы. При выборе без возвращения вероятность второго шага обычно изменяется, поэтому события зависимы. Однако окончательный вывод зависит от формулировки и от того, какие именно события сравниваются.
Разобранный пример: два извлечения без возвращения
В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад достают два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара белые.
Рассмотрим два последовательных шага. На первом шаге вероятность белого шара равна \(5/8\). Если первый шар оказался белым, в коробке останутся 4 белых и 3 чёрных шара, то есть всего 7 шаров. Вероятность белого шара на втором шаге условно равна \(4/7\).
Ответ: \(\frac{5}{14}\). События «первый шар белый» и «второй шар белый» зависимы, потому что после первого извлечения состав коробки изменился.
1. При выборе без возвращения оставляют вторую вероятность равной \(5/8\) — это неверно: состав изменился. 2. Складывают вероятности вместо умножения, хотя требуется «и». 3. Для события «хотя бы один» сразу считают только один вариант и забывают случаи с двумя успехами. Часто проще найти противоположное событие: \(P(\text{хотя бы один})=1-P(\text{ни одного})\).
Повторные испытания и статистические модели
Если один и тот же эксперимент повторяют много раз, можно сравнивать теоретическую вероятность с наблюдаемой частотой события. Абсолютное число наступлений события называют абсолютной частотой, а отношение этого числа к общему числу испытаний — относительной частотой. При увеличении числа испытаний относительная частота обычно приближается к вероятности, хотя не обязана совпадать с ней в каждой серии.
| Ситуация | Как меняется вероятность второго шага | Тип связи |
|---|---|---|
| Выбор с возвращением | Состав восстанавливается | Обычно независимые события |
| Выбор без возвращения | Состав изменяется | Обычно зависимые события |
| Два отдельных броска правильной монеты | Результат первого броска не влияет на второй | Независимые события |
| Выбор двух учеников без повторного выбора | Число оставшихся учеников меняется | Зависимые события |
Если эксперимент разбит на несколько случаев, а событие может произойти при каждом из них, удобно использовать формулу полной вероятности. Для более сложных задач полезна также условная вероятность: она прямо показывает, как изменяется шанс события при известной информации.
1. Определите эксперимент и событие. 2. Проверьте, равновероятны ли исходы. 3. Для «и» используйте умножение, для несовместного «или» — сложение. 4. При последовательном выборе выясните, меняется ли состав. 5. Проверьте, что ответ лежит от 0 до 1.
Проверь себя
Главное
- Случайный эксперимент задаётся пространством исходов и вероятностями событий.
- Для равновероятных исходов \(P(A)=m/n\): число благоприятных исходов делят на число всех исходов.
- Для совместного наступления событий применяют умножение; при независимости \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
- Выбор без возвращения обычно создаёт зависимость, а выбор с возвращением и отдельные броски часто дают независимость.
- Событие «хотя бы один» удобно считать через противоположное событие: \(1-P(\text{ни одного})\).